求数列通项公式十种方法.doc

求数列通项公式的十种方法
一、公式法
例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
二、利用
例2．若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数
，.求数列的通项公式；
解： ……2分 当
当……4分
练习：1. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an
解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)
当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3
2．（2006年全国卷I）设数列的前项的和
，
（Ⅰ）求首项与通项；
（Ⅱ）设，，证明：
解：（I），解得：
所以数列是公比为4的等比数列
所以：
得： （其中n为正整数）
（II）
所以：
三、累加法
例3 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则
所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例4 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则
所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例5已知数列满足，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，
则，故
因此，
则
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
四、累乘法
例6 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例7已知数列满足，求的通项公式。
解：因为 ①
所以 ②
用②式－①式得
则
故
所以 ③
由，，则，又知，则，代入③得。
所以，的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。

例8（2006年福建卷）已知数列满足
求数列的通项公式；
解：

是以为首项，2为公比的等比数列。

即　
例9．已知数列中，,，求。
解：在两边乘以得：
令，则,解之得：
所以
练习. 已知数列满足，且。
（1）求；
（2）求数列的通项公式。
解： （1）
（2）

∴
六、待定系数法
例10已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ④
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
例11 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ⑥
将代入⑥式，得
整理得。
令，则，代入⑥式得
⑦
由及⑦式，
得，则，
故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
例12 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ⑧
将代入⑧式，得
，则
等式两边消去，得，
解方程组，则，代入⑧式，得
⑨
由及⑨式，得
则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
七、对数变换法
例13 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩
设
将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则
，故
代入式，得
由及式，
得，
则，
所以数列是以为首