选修4-5：数学归纳法资料.ppt

数学归纳法数学归纳法第四讲用数学归纳法证明不等式问题 1: ???? 1 1 , 1 1, 2,... 1 n n n na a a a n a ?? ???对于数列已知, 猜想其通项公式 111 a? 212 a? 1 nan ? 313 a?问题 2:某人看到树上乌鸦是黑的,深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。问题情境...... 我是白的哦! :由一系列有限的特殊事例得出一般:由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法结论的推理方法结论一定可靠结论一定可靠结论结论不不一定可靠一定可靠考察考察全体全体对象对象, ,得到一般结论得到一般结论的推理方法的推理方法考察考察部分部分对象对象, ,得得到一般结论的推到一般结论的推理方法理方法归纳法分为归纳法分为完全归纳法完全归纳法和和不不完全归纳法完全归纳法归纳法归纳法思考:归纳法有什么优点和缺点? 优点: 可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律缺点: 仅根据有限的特殊事例归纳得到的结论有时是不正确的思考 1:与正整数 n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢? 思考 2:如果一个数学命题与正整数 n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢? 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数整数 n n 0 0的所有正整数的所有正整数 n n都成立时,可以用以下两都成立时,可以用以下两个步骤: 个步骤: ( (1 1)证明当)证明当 n n= =n n 0 0( (例如例如 n n 0 0 =1) =1) 时命题成立时命题成立; ; ( (2 2)假设当)假设当 n n= =k k( (k k∈∈N N * *, ,且且k k≥≥n n 0 0) )时命题成立时命题成立证明证明 n n= =k k +1 +1 时命题也成立时命题也成立. .在完成了着两个步骤后,就可以断定命题对于在完成了着两个步骤后,就可以断定命题对于不小于不小于 n n 0 0的所有正整数都成立。的所有正整数都成立。数学归纳法这种证明方法这种证明方法叫做叫做数学归纳法数学归纳法 1+3+5+ ‥+(2n - 1)= n 2 用数学归纳法证明 即当 n=k +1 时等式也成立。根据( 1)和( 2)可知,等式对任何 都成立。 n N ??证明: 1+3+5+·‥+ (2k- 1)+[2( k +1) -1] 那么当 n=k +1 时(2)假设当 n=k时,等式成立,即(1)当 n =1 时,左边= 1,右边= 1,等式成立。 1+3+5+‥+ (2k- 1)= k 2= + [2( k +1) -1] k 2=+2k+1k 2=(k +1) 2(假设) (利用假设) 注意:递推基础不可少, 归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉。证明传递性(凑结论) (基础) 数学归纳法步骤,用框图表示为: (1) 验证 n=n 0时命题成立。(2) 若 n = k ( k ≥ n 0)时命题成立, 证明当 n=k+1 时命题也成立。命题对从 n 0开始的所有的正整数 n都成立。奠基假设与递推用数学归纳法可以证明与自然数 n有关的等式、不等式。注意注意: : 1 1、用数学归纳法进行证明时、用数学归纳法进行证明时, ,要分两个步要分两个步骤骤, ,两步同样重要,两步骤缺一不可两步同样重要,两步骤缺一不可. . 2 2、第二步证明,由假设、第二步证明,由假设 n n= =k k时命题成立, 时命题成立, 到到 n=k+1 n=k+1 ,,否则不是数学归纳法。数学归纳法。 3 3、最后一定要写、最后一定要写““由( 由( 1 1)( )( 2 2) )…………””