大学课件 高等数学 全微分.ppt

全微分的定义
可微的条件
小结 思考题 作业
total differentiation
第三节 全 微 分
第八章 多元函数微分法及其应用
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函数的变化情况.
偏导数讨论的只是某一自变量变化时
函数的变化率.
现在来讨论当各个自变量同时变化时
全 微 分
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先来介绍
全增量的概念
为了引进全微分的定义,
全增量.
域内有定义,
函数取得的增量
全增量.
全 微 分
一、全微分的定义
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全微分的定义
处的
全微分.
全 微 分
可表示为
可微分,
在点
则称
称为函数
记作
即
函数若在某平面区域D内处处可微时,
则称
可微函数.
这函数在D内的
而不依赖于
4
可微与偏导数存在有何关系呢？
?
微分系数
注
全微分有类似一元函数微分的
A=? B=?
两个性质:
全 微 分
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.
的线性函数;
高阶无穷小.
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1. 可微分的必要条件
由下面的定理来回答：
( 可微必可导).
定理1
(可微必要条件)
如果函数
可微分,
且函数
的全微分为
全 微 分
二、可微的条件
6
证
总成立,
同理可得
上式仍成立,
此时
的某个邻域
如果函数
可微分,
全 微 分
可微分,
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都不能保证函数在该点连续.
多元函数在某点可微是否保证
事实上,
显然,
答:
由全微分的定义有
可得
多元函数可微必连续
连续的定义
?
不连续的函数
上一节指出,
多元函数在某点各个偏导数
即使都存在,
函数在该点连续
如果函数
可微分,
则函数在该点连续.
一定是不可微的.
全 微 分
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多元函数的各偏导数存在 全微分存在．
如，
下面举例说明
二元函数可微一定存在两个偏导数.
一元函数在某点的导数存在 微分存在．
?
回忆:一元函数的可导与可微的关系?
但两个偏导数都存在函数也不一定可微.
(由偏导数定义可求得)
由定理1知
全 微 分
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则
说明它不能随着
而趋于0,
因此,
如果考虑点
沿直线
趋近于
全 微 分
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