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n进制问题 （18年2月21日）
某自然数m在6进制下和9进制下都是3位数，在6进制下形如abc,在9进制下形如cba。请问自然数m是多少？
 
答案：212。
 讲解思路：
复习一下整数进制的基础知识：
进制也叫进位制，
是人们规定的一种进位方法。
我们常用的十进制运算时是逢10进1位。
n进制运算时就是逢n进1位。
比如7进制数125换算为十进制数是68，
因为:1*7*7+2*7+5=68；
比如十进制数68换算为9进制数是75，
因为68=7*9+5。
 
步骤1：
先思考第一个问题，
a,b,c的范围是什么？
在n进制下，
由于要每逢n进一位，
故每一位上的数字都比n小。
所以，a,b,c都小于6。
 
步骤2：
再思考第二个问题，
m如何用a,b,c表示？
m在6进制下是abc,
故m=a*6*6+b*6+c=36a+6b+c;
m在9进制下是cba,
故m=c*9*9+b*9+a=81c+9b+a。
 
步骤3：
再思考第三个问题，
满足条件的a,b,c是多少,
m又是多少？
从步骤2知道，
36a+6b+c=81c+9b+a，
化简即:
3b=35a-80c=5(7a-16c),
因此b是5的倍数。
由于(7a-16c)不可能是0，
故b也不可能是0，
而b又小于6，
因此b=5。
代入上式有3=7a-16c,
由于a和c的范围是1-5，
故35 >= 7a >16c >= 16,
满足上面不等式的c必须小于等于2，
因此c=1或2，
代入3=7a-16c中验证,
只有c=2,a=5时才满足等式。
所以m=36a+6b+c=212。
 
思考题：
某自然数m在5进制下和7进制下都是2位数，组成这两个2位数的数字相同，但顺序恰好相反。请问自然数m是多少？
完全平方数问题（18年3月4日）
某自然数加上38是一个完全平方数，减去38还是完全平方数，请问该自然数是多少？
 
答案：362。
讲解思路：
看到这道题，
自然想到，
假设该数是m，
则m+38=a^2,
m-38=b^2。
此时问题的关键就在于求a和b。
 
步骤1：
先思考第一个问题，
a和b之间有什么关系？
由于m+38=a^2,
m-38=b^2，
用第一个等式减去第二个等式，
得到76=a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
 
步骤2：
再思考第二个问题，
m是多少？
从步骤1知道，
a+b和a-b的乘积是76，
由于a+b和a-b同奇或同偶，
在76的分解因数中，
只有38和2的奇偶性相同，
故a+b=38,a-b=2,
即a=20,b=18,
所以，m=362。
 
思考题：
小明说他找到了一个自然数m，满足m减去69是完全平方数，且m加上69也是完全平方数。请问小明的说法正确么？
进制问题 （18年3月6日）
某个自然数a在m进制下是45，在n进制下是54。请问a最小是多少？
 
答案：49。
 讲解思路：
复习一下整数进制的基础知识：
进制也叫进位制，
是人们规定的一种进位方法。
我们常用的十进制运算时是逢10进1位。
n进制运算时就是逢n进1位。