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高三数学专题外接球
1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心
例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2．补形法（补成长方体）
例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 ．
3．依据垂直关系找球心
例3：已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．12π B．28π C．44π D．60π
3．把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接
球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是边长为1的正方体，
是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，
则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
10．四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．
14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．
15．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于______．
16．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为_____．
1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心
例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，，故选C．
2．补形法（补成长方体）
例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 ．
【答案】
【解析】，．
3．依据垂直关系找球心
例3：已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是等腰直角三角形，所以外接球的半径是，设外接球的半径是，球心到该底面的距离，如图，则，，由题设，
最大体积对应的高为，故，即，解之得，
所以外接球的体积是，故答案为D．
一、单选题
1．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设长方体的外接球半径为，由题意可知：，则：，该长方体的外接球的表面积为．本题选择B选项．
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．12π B．28π C．44π D．60π
【答案】B
【解析】设底面三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得：，则，
设外接球半径为，结合三棱柱的特征可知外接球半径，
外接球的表面积．本题选择B选项．
3．把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接
球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，
则三棱锥的外接球直径为，外接球的表面积为，故选C．
4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）
A．