离散数学 第四章 一阶逻辑基本概念.ppt

第四章一阶逻辑基本概念
在命题逻辑中,命题是最基本的单位,对简单命题不再进行分解,并且不考虑命题之间的内在联系和数量关系。因而命题逻辑具有局限性,甚至无法判断一些简单而常见的推理。考虑下面的推理:    凡偶数都能被2整除;      6是偶数。     所以,6能被2整除。 这个推理是我们公认的数学推理中的真命题,但是在命题逻辑中却无法判断它的正确性。因为在命题逻辑中只能将推理中出现
的三个简单命题依次符号化为p,q,r,将推理的形式结构符号化为:  (p∧q)→r  由于上式不是重言式,所以不能由它判断推理的正确性。
为了克服命题逻辑的局限性,就应该将简单命题再细分,分析出个体词,谓词和量词,以期达到表达出个体与总体的内在联系和数量关系,这就是一阶逻辑所研究的内容。一阶逻辑也称一阶谓词逻辑或谓词逻辑。
一阶逻辑的符号化
 一、个体词
    个体词是指所研究对象中可以独立存
在的具体的或抽象的客体。例如,小王,
小李,中国, ,3等都可以作为个体词。
将表示具体或特定的客体的个体词称作个
体常项,一般用小写英文字母a,b,c…
表示;而将表示抽象或泛指的个体词称为
个体变项,常用x,y,z…表示。称个体变项的取值范围为个体域(或称论域)。个体
域可以是有穷集合,例如,{1,2,3},{a,b,c,d},{a,b,c,…,x,y,z};也可以是无穷集合,例如,自然数
集合N={0,1,2,…},实数集合R={x|x是实数}。有一个特殊的个体域,它是由宇宙间一切事物组成的,称它为全总个
体域。本书在论述或推理中如没有指明
所采用的个体域,都是使用全总个体域。
二、谓词
    谓词是用来刻画个体词性质及个体词
之间相互关系的词。考虑下面四个命题:    (1) 是无理数。    (2)x是有理数。    (3)小王与小李同岁。    (4)x与y具有关系L.
在(1)中, 是个体常项,“…是无理数”是谓词,记为F,并用F( )表示(1)中命题。在(2)中,x是个体变项,“…是有理数”是谓词,记为G,用G(x)表示(2)中命题。
在(3)中,小王,小李都是个体常项,“…与…
同岁”是谓词,记为H,则(3)中命题符号化形式
为H(a,b),其中,a:小王,b:小李。在(4)中,
x,y为两个个体变项,谓词为L,(4)的符号化
形式为L(x,y).
  同个体词一样,谓词也有常项和变项之分。
表示具体性质或关系的谓词称为谓词常项,
表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词称为
谓词变项。无论是谓词常项或变项都用大写
英文字母F,G,H,…表示,可根据上下文区分。
在上面四个命题中,(1),(2),(3)中谓词F,G,H是常项,而(4)中谓词L是变项。
一般的,用F(a)表示个体常项a具有性质F(F是谓词常项或谓词变项),用F(x)表示个体变项x具有性质F.
用F(a,b)表示个体常项a,b具有关系F,用F(x,y)表示个体变项x,y具有关系F.
更一般的,用P(x1,x2,…,xn)表示含n(n≥1)个个体变项的n元谓词。n=1时,P(x1)表示个体变项x1具有性质P; n≥2时,P(x1,x2,…,xn)表示个体变x1,x2 ,…, xn具有关系P.
实质上,n元谓词P(x1,x2,…, xn)可以看成以个体域为定义域,以{0,1}为值域的n元函数或关系。它不是命题。要想使它成为命题,必须用谓词常项取代 P,用个体常项 a1,a2,…,an取代x1,x2,…,xn, 使得P(a1,a2,…,an)是命题。
   有时候将不带个体变项的谓词称为0元谓词,例如,F(a),G(a,b),P(a1,a2,…,an)等都是0元谓词。0元谓词不一定是命题,当F,G,P为谓词常项时,0元谓词为命题。这样一来,命题逻辑中的命题均可以表示成0元谓词,因而可以将命题看成特殊的谓词。
将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化,并讨论它们的真值:     (1)只有2是素数,4才是素数。
解设一元谓词F(x):x是素数,a:2,b:4。
(1)中命题符号化为0元谓词的蕴涵式:              F(b)→F(a)  由于此蕴涵前件为假,所以(1)中命题为真。