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第10章 线性回归分析
《管理统计学》
谢湘生
广东工业大学管理学院
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例 设一个质点作匀速直线运动，其位移可以表示为S=α+βt。但在实验中由于受到环境等干扰因素的作用，在每一个时刻，人们观察到的不是准确的位移，而是具有误差S +ε,记这一观测值为Y，则所有观察数据满足
注意到各误差ε实际无法确切地知道，因此要确定质点的运动规律，需要使用回归分析的方法。
更一般地，回归分析在经济管理中常被用来分析变量之间的非确切对应的关系。
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不确定型的函数关系
在社会经济和管理中，变量之间的关系更经常地表现为不确定的函数关系。如
销售量与人口数量
销售量与广告费用
收入与受教育水平
。。。。。。
它们之间存在着明显的相互关系（称为相关关系），但这种关系又不像数学里常用到的确切的函数关系。
回归分析是研究随机变量之间相关关系的一种统计方法，其用意是研究一个被解释变量（因变量）与一个或多个解释变量（自变量）之间的统计关系。
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例：宝丽来公司
宝丽来公司是即时显影技术的开拓者，并保持着技术领先地位。自公司成立以来，就不断地在化学、光学和电子学方面进行试验和发展，以生产具有更高品质、更高可靠性和更为便利的摄影系统。
在宝丽来的感光实验室中，科学家们把即时显像胶片置于一定的温度和湿度下，使之近似于消费者购买后的保存条件，然后再对其进行系统的抽样和分析。他们选择了专业彩色摄影胶卷，抽取了分别已保存1~13个月不等的胶卷以便研究它们保存时间和感光速率之间的联系。数据显示，感光速率随保存时间的延长而下降。它们之间的变动关系可用一条直线或线性关系近似表示出来。
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y——胶卷感光率的变动
x——胶卷保存时间（月）
从这一方程可以看出，胶卷的感光速率平均每月下降76个单位。通过此分析得到的信息，有助于公司把消费者的购买和使用结合起来考虑，调整生产，提供顾客需要的胶卷。
运用回归分析，宝丽来公司建立了一个方程式，它能反映胶卷保存时间对感光速率的影响。
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例：收入与食品消费
人均收入X与人均食品消费支出Y之间的散点关系可以如下图表示出来
根据散点图，我们有可能找到一条直线，从“平均”的角度来反映两个变量之间的关系。
从经济意义上看，这里人均收入可以作为解释变量（解释人均食品支出的变化。
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这时，两个变量之间的不确定关系，可以用下式表示：
其中，人均食品消费支出Y是被解释变量，人均收入X是解释变量，β1, β2是两个待估计的参数，分别表示截距和斜率（反映了关于X的边际效益）。u是随机干扰项，通常假设它与X无关，它反映了Y被X解释的不确定性。
如果随机干扰项u的均值为0，那么上式两边在X的条件下求均值，就有
反映了从“平均”角度看的确定的函数关系（解释关系）。
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例 一个假想的社区有100户家庭组成，要研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收入X的关系。
即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。
收集了这100户家庭收入与消费支出的数据后，发现可将该100户家庭组成的总体按可支配收入水平划分为10组，具体数据见下表。
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