第七章第七章定积分定积分第七章第七章定积分定积分定积分是一个和式的极限,在几何上,它表示一个曲边梯形的面积。定积分与不定积分是两个不同的概念,但通过微积分基本定理, 这两个概念被紧密的联系在一起,使得定积分的计算,在技术上是一个不定积分的问题。本章先给出定积分的概念,然后给出定积分的性质、微积分基本定理、定积分的计算方法和无穷限广义积分的概念。本章的最后,给出定积分在几何和物理中的一些简单应用。第七章第七章定积分定积分本章的重点是定积分的凑微分法、换元积分法和分部积分法。这三种积分方法的使用与不定积分基本一样。 定积分的概念定积分的概念 定积分的性质定积分的性质 微积分基本定理微积分基本定理 定积分的换元积分法定积分的换元积分法 定积分的分部积分法定积分的分部积分法 无穷限广义积分无穷限广义积分 定积分应用定积分应用第七章第七章定积分定积分§ §7. 1 7. 1 定积分的概念定积分的概念 引例引例问题: 求由曲线 y = f (x),直线 x = a, x = b 和 x 轴所围成的图形的面积。注: 这类图形叫曲边梯形, -1。 X -1 )(xf 将曲边梯形分为许多微小部分,在微小部分上将 f (x)看作不变, 求出微小部分的面积,再将微小部分累积起来,得到曲边梯形面积的一个近似,借助极限过程,将近似化为精确。我们采用极限的方法,即先求近似,再取极限: 第七章第七章定积分定积分§ §7. 1 7. 1 解:将区间[a, b]分为许多小区间(见图 -2)X -2 )(xf ix 1?ix ix? iixf??)(?[x 0,x 1],[x 1,x 2],…,[x n -1,x n]相应的,曲边梯形被分成许多小曲边梯形: ΔS 1, ΔS 2, …, ΔS n每一个小区间分得足够小,以至于在每个小区间上,小曲边梯形的高度 f (x)可以近似的看作不变,此时第 i个小曲边梯形的面积近似的为 f (? i ) ??x i其中? i为第 i个小区间上任意一点, ?x i为第 i个小区间的长度。第七章第七章定积分定积分§ §7. 1 7. 1 再把这些微小部分累加起来, 当小区间的数量增加,且每个小区间长度?0时,和式的极限就是所求曲边梯形的面积。((1)式中?x表示小区间长度的最大者)。 i ni ixf????1)(? i ni ixxf??????1 0)( lim ?(1) 可见,为求曲边梯形的面积,我们需要计算一个形如(1) 式的极限。还有很多问题的计算,例如:已知速度求路程,已知分布密度求总质量,这些问题的计算,都归结为形如(1) 式的极限,这样就有必要对(1) 式型的极限进行研究。(1)式型的极限就是下面要定义的定积分。第七章第七章定积分定积分§ §7. 1 7. 1 定积分的定义定积分的定义设f (x)在区间[a, b]上有定义, a = x 0 < x 1 < …<x n = b 为区间[a, b]的一组分点,将区间[a, b]分为许多小区间[x 0, x 1],[x 1, x 2],…,[x n -1,x n] ?x i为第 i个小区间的长度。用?x表示这些小区间长度的最大者, ?x = max{ ?x i , i =1, …, n } 在第 i个小区间上任取一点? i,作和 i ni ixf????1)(?并考虑极限 i ni ixxf??????1 0)( lim ?第七章第七章定积分定积分§ §7. 1 7. 1 定义定义 : : 若极限 i ni ixxf??????1 0)( lim ?存在,则称 f在[a, b]上可积,称此极限值为 f在[a, b]上的定积分, 记为? ba dxxf)(,即 i ni ix baxf dxxf????????1 0)( lim )(?(2) (2) 式称为定积分的定义式,符号? ba dxxf)(读作“f(x)从a到b的积分”。符号?(拉长的 S,S是 sum 的第一个字母)叫做积分号,表明积分是一个和。积分号下面的函数 f (x)叫做被积函数, x为积分变量, a到b的区间叫做积分区间, a叫积分下限, b叫积分上限。第七章第七章定积分定积分§ §7. 1 7. 1 由引例,定积分可以看作曲边梯形的面积。曲边梯形? ba dxxf)(? ba dxxf)
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