2012南昌市一模答案.doc

2011—2012学年度南昌市高三第一次模拟测试卷
数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
D
C
D
B
C
B
A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11． 12．60 13． 14．
三、选做题（本题共5分）
15.①； ②
四、解答题（本大题共6小题，共75分）
16. 解：(1)
………………………………………………………2分
因为，所以
当时，
所以的值域为………………………………………………………4分
同理，当时，的值域为 ……………………………………6分
（2）当时，
的最小正周期为可知，的值为．…………………8分
由，得……10分

因为，所以，
函数在上的单调递增区间为………………………………12分
17. 解：（1）设公差为。由已知得………………………3分
解得或 (舍去) 所以，故 ………………………………6分
（2）因为
所以………………………9分
因为对恒成立。即，，对恒成立。
又
所以实数的最小值为 ………………………………………………………………12分
18. 解:(1) ……………………………………….2分
……………………………………4分
…………………………………………………….6分
……………………………….9分
(2)………………………………………….12分
19. 解：法1：（1）连结，
∵平面，平面，
∴，……………………… 1分
又∵，，
∴平面，…………………. 2分
又∵，分别是、的中点，
∴，………………………….3分
∴平面，又平面，
∴平面平面；……………4分
（2）连结，
∵平面，平面平面，
∴，
∴，故 ………………………………………8分
（3）∵平面，平面，∴，
在等腰三角形中，点为的中点，∴，
∴为所求二面角的平面角， ……………………………9分
∵点是的中点，∴，
所以在矩形中，
可求得，，，………………………10分
在中，由余弦定理可求得，
∴二面角的余弦值为．……………………………………12分
法2：（1）同法1；
（2）建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
∴，，
设点的坐标为，平面的法向量为，则，
所以，即，令，则，，
故，
∵平面，∴，即，解得，
故，即点为线段上靠近的四等分点；
故 …………………………………………………………………8分
（3），则，设平面的法向量为，
则，即，………9分
令，则，，
即，……………………………10分
当是中点时，，
则，
∴，
∴二面角的余弦值为．……12分
20. 解：（1）由=及解得a2=4，b2=3，
椭圆方程为；…………………………………………………………2分
设A（x1,y1）、B（x2,y2）， 由得
（x1+x2-2，y1+y2-3）=m（1，），即
又，，两式相减得
; ………………………6分
（2）设AB的方程为 y=，代入椭圆方程得：x2-tx+t2-3=0，
△=3(4-t2)，|AB|=，
点P到直线AB的距离为d=，
S△PAB == （-2<t<2）. ……………….10分
令f(t) =3(2-t)3(2+t)，则f’(t)=-12(2-t)2(t+1)，由f’(t)=0得t=-1或2（舍），
当-2<t<-1时，f’(t)>0，当-1<t<2时f’(t)<0，所以当t=-1时，f(t)有最大值81，
即△PAB的面积的最大值是；
根据韦达定理得 x1+x2=t=-1，而x1+x2=2+m，所以2+m=-1，得m=-3，
于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3++=0，
因此△PAB的重心坐标为(0，0)．……………………………………………………13分
21. 解: （1） …………………………2分
由在处取到极值2，故，即,
解得，经检验， ……5分
（2）由（1）知，故在上单调递增，在上单调递减,由 ，故的值域为…………………………7分
依题意，记
（ⅰ）当时，，在上单调递减，
依题意由，得，……………………………………………………8分
（ⅱ）当时，当时，，当时，
依题意得：或，解得，…………………………10分
（ⅲ）当时，，此时，在上单调递增依题意得
即此不等式组无解 ……………………………………1