三角形五心定律.doc

垂 心
三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。　
锐角三角形垂心在三角形内部。　
直角三角形垂心在三角形直角顶点。　
钝角三角形垂心在三角形外部。
垂心是高线的交点
垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。
　 三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
　 三角形上作三高,三高必于垂心交。
　 高线分割三角形，出现直角三对整，
　直角三角有十二,构成六对相似形，
　四点共圆图中有，细心分析可找清，　

　 重心
　　重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。
重心的几条性质:
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
２、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。　
3、重心到三角形３个顶点距离的平方和最小.
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为（(X1+X2＋X3)/3,（Ｙ１+Y2+Y3)/3）；空间直角坐标系——横坐标:（X1＋X2+X３）／3 纵坐标：(Y１+Y2+Y3)/3 竖坐标：（ｚ1+ｚ2＋ｚ3）/3
　5、三角形内到三边距离之积最大的点
　内心
内心是三角形三条内角平分线的交点,即内切圆的圆心.
　内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线,这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
　　内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
注意到内心到三边距离相等(为内切圆半径),内心定理其实极易证.
若三边分别为ｌ1,l２，l3,周长为p，则内心的重心坐标为(ｌ１/p，ｌ2／p，l3/ｐ)。
直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.
　 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
希望对你有帮助!三角形五心定律　
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定律指是三角形重心定律，外心定律，垂心定律，内心定律，旁心定律的总称。
一、三角形重心定律
三角形的三条边的中线交于一点。,十分简单。(重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）
重心的性质:
１、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.
2、重心和三角形3个顶点组成的３个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。　
3、重心到三角形３个顶点距离的平方和最小。
４、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为（(X１+X２+X3)/３,（Ｙ1+Y2+Y3）/3)。　
二、三角形外心定律　
,叫做三角形的外心。注意到外心到三角形的三个顶点距离相等。结合垂直平分线定义,此结论其实极好证。
外心的性质：
1、若O是△ABC的外心，则∠BＯC＝2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=36０°—2∠A（