几个分形matlab实现.doc

几个分形的matｌａb实现
摘要：给出几个分形的实例,并用mａｔlab编程实现方便更好的理解分形，欣赏其带来的数学美感
关键字:Koch曲线 实验 　 图像
问题描述：
从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成山丘形图形如下
ﻫ图1
在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形如此迭代，形成Kｏch分形曲线。
算法分析：
考虑由直线段(2个点）产生第一个图形（5个点）的过程。图1中，设和分别为原始直线段的两个端点,现需要在直线段的中间依次插入三个点,,。显然位于线段三分之一处，位于线段三分之二处,点的位置可看成是由点以点为轴心,逆时针旋转600而得。旋转由正交矩阵
实现。
算法根据初始数据(和点的坐标)，产生图1中５个结点的坐标。结点的坐标数组形成一个矩阵，矩阵的第一行为的坐标，第二行为的坐标……，第五行为的坐标。矩阵的第一列元素分别为5个结点的坐标，第二列元素分别为5个结点的坐标。
进一步考虑Ｋoch曲线形成过程中结点数目的变化规律。设第次迭代产生的结点数为，第次迭代产生的结点数为,则和中间的递推关系为。
三、实验程序及注释：
p＝［0 ０;1０ ０]； %P为初始两个点的坐标,第一列为x坐标，第二列为ｙ坐标
n＝2； 　 %n为结点数
A=［cos（ｐi/3） —ｓin（ｐi/3）;siｎ(pi/3） coｓ(ｐi／3）］；　 ％旋转矩阵
ｆor　k=1:4
　 d=diff（p）/３; ％ｄiff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量
　 　 　 　 　 　％则d就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应
m=4＊n—3； 　 　 ％迭代公式
q=p(1:n—1，：); %以原点为起点，前ｎ—1个点的坐标为终点形成向量
　 p(5：4:m,:）=ｐ(2：n,:）; %迭代后处于4k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标
p（２:4：m，：)=q＋d; %用向量方法计算迭代后处于４k+2位置上的点的坐标
p(3：４：ｍ，：）=q＋d+ｄ＊Ａ'; ％用向量方法计算迭代后处于4k+3位置上的点的坐标
　 　 p(4：4:ｍ，:)=ｑ＋2*d；　 %用向量方法计算迭代后处于4ｋ位置上的点的坐标
ｎ＝m; 　　　 　　 ％迭代后新的结点数目
eｎd
　
plｏt（p（：，1），p(：,２)） 　　 ％绘出每相邻两个点的连线
ａxis(［0　１０ ０ 10］)
四、实验数据记录：
由第三部分的程序,可得到如下的Ｋoｃh分形曲线：
图2
五、注记：
１．参照实验方法，可绘制如下生成元的Kocｈ　分形曲线:
图3
此时，旋转矩阵为：
程序和曲线如下:
p＝［0　0；１０　0］; 　 　％P为初始两个点的坐标,第一列为ｘ坐标，第二列为y坐标
n=2; 　 %n为结点数
Ａ=［０　－1；1　0]； 　 %旋转矩阵
ｆor　k＝1:4
ｄ=diｆf（p）/3； 　％diｆｆ计算相邻两个点的坐标之差，得到相邻两点确定的向量
　　 　 　 　　 %则d就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应
　 m=5＊n－4； 　 %迭代公式
　 　q=p(１:n—1，：);　%以原点为起点,前n－1个点的坐标为终点形成向量
p(6:5：m,：)＝ｐ（2：n，:）; %迭代后处于5k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标
　 p（2:５：m,:)=q+d； 　 　 ％用向量方法计算迭代后处于５ｋ+2位置上的点的坐标
　 　ｐ（3：5:m，:)＝q+d+d＊A';　 %用向量方法计算迭代后处于5ｋ+３位置上的点的坐标
p(４：５：ｍ，：）＝q+2＊d+d*A'； 　%用向量方法计算迭代后处于5k+４位置上的点的坐标
　 p（5：5:ｍ,:）＝q＋2*d； 　　 　 %用向量方法计算迭代后处于5k位置上的点的坐标
　 　 n=m；　　 　　　　 　 　％迭代后新的结点数目
end

plｏt（p（:，1）,p（:,2）) 　 　 ％绘出每相邻两个点的连线
axis（[0 10　0 10］）
ﻫ图4
由于中间三分之一部分是一个正方形时,,即中间部分为一个长与宽之比