排列组合题解题七法.doc.doc

排列组合题解题七法排列组合题的解题方法既有一般规律,也有特殊的解题技巧. 因为排列组合题中有许多同类型的问题, 我们可以把解答这类题的技巧看作一种模板. 一、先总再分法这个模板主要针对相邻的排列组合题. 具体方法是先把相邻的元素当作一个整体和其他的元素进行全排,然后将相邻的元素进行全排. 其模型为:有[m+n] 个元素排成一排,其中[n] 个元素必须排在一起,共有[Am+1m+1?Ann] 种不同的排法. 例1 利民商场计划在一柜台上展出 10 种不同的茶叶, 其中 1 种白茶, 4 种红茶, 5 种青茶,排成一行陈列,要求同一品种的茶必须排一起,并且白茶不放在两端,那么不同的陈列方式有( ) A. [A44?A55] B. [A33?A44?A55] C. [C13?A44?A55] D. [A22?A44?A55] 解析红茶整体、青茶整体、白茶个“元素”先排, 考虑到白茶不能排两端, 所以有[A22] 种方法, 又红茶的不同陈列方式有[A44] 种, 青茶的陈列方式有[A55] 种. 因而柜台上茶叶的不同陈列方式有[A22?A44?A55] 种. 答案 D 二、相间穿插法这个模板主要针对相间的排列组合题. 具体方法是先把不要求相间的元素排好, 再将相间的元素插空排列. 其模型为:有[m+n][n ≤ m+1] 个元素排成一排,其中[n] 个元素不能相邻,共有[Amm?Anm+1] 种不同的排法. 例2 某高中今年秋季有 6 项课改活动需要先后单独完成, 其中活动乙必须在活动甲完成后才能进行,活动丙必须在活动乙完成后才能进行,活动丁又必须在活动丙完成后才能进行, 那么安排这 6 项活动的不同排法种数是(用数字作答) . 解析依题意,只需将剩余两个活动插在由甲、乙、丙、丁四个活动形成的 5 个空中,可得有[A25]=20 种不同排法. 三、“客人住店”法这个模板主要解决“允许重复排列问题”,解题时要注意区分两类元素: 一类元素可以重复, 另一类不能重复. 把不能重复的元素看作“客”, 能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解. 例3 某次田径运动会上,有7 名运动员要争夺 5 项冠军, 请问获得冠军的可能的种数有( ) A. 75 B. 57 C. [A57] D. [C57] 解析因同一运动员可同时夺得几项冠军, 故运动员可重复排列,将7 名运动员看作 7家“店”,5 项冠军看作 5名“客”,每个“客”有7 种住宿法,由乘法原理得 75种. 答案 A 点拨对此类问题,有同学会有疑惑:为什么不以 5 项冠军作为 5家“店”呢?因为几个运动员不能同时夺得同一冠军,即冠军不能重复. 四、先排后除法这个模板主要针对定序类的排列组合题. 具体方法是, 对于某些元素的顺序固定的排列问题,可以先全排,再除以定序元素的排列数. 其模型为: 分别有[m] , [n] , [r] 个相同的元素排成一排, 共有[Am+n+rm+n+rAmm?Ann?Arr] 种不同的排法. 例4 张三、李四和王五 3 位爱心人士要安排在周一至周五的 5 天中参加一项慰问活动, 要求每人参加一天且每天至多安排一人, 并要求张三安排在李四和王五之前. 不同的安排方法共有( ) A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种解析将5 天选出 3 天进行全排列,然后再除以张三在李