高中数学不等式知识点总结.doc

高中数学不等式专题教师版
高考动态
考试内容:
．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式。
数学探索©版权所有考试要求：ﻫ数学探索©版权所有（1）理解不等式的性质及其证明。ﻫ数学探索©版权所有(2)掌握两个（不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．ﻫ数学探索©版权所有（3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.
数学探索©版权所有(4）掌握简单不等式的解法．
数学探索©版权所有(5)理解不等式│a│－│b│≤│a＋b│≤│a│+│b│ 
二、不 等 式 知识要点
不等式的基本概念
不等(等)号的定义：
不等式的分类：绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式.
同向不等式与异向不等式．
同解不等式与不等式的同解变形．

（1）（对称性）
（2）(传递性）
（3)（加法单调性）
（4)（同向不等式相加)
（5)（异向不等式相减）
（6）
（７）（乘法单调性)
（8)(同向不等式相乘）
(异向不等式相除）
（倒数关系）
（11）(平方法则)
（12）(开方法则）
3。几个重要不等式
（1）
（2）(当仅当a＝b时取等号)
(3)如果a,b都是正数,那么 (当仅当a=b时取等号）
极值定理：若则：
如果Ｐ是定值， 那么当ｘ＝y时，S的值最小；　　
如果Ｓ是定值, 那么当x＝y时，P的值最大.
　 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等。
（当仅当a=b=c时取等号）
（当仅当ａ=b时取等号)
（7）

(1）平均不等式： 　 如果a,ｂ都是正数,那么 (当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（
ａ、b为正数）：
特别地，(当ａ = ｂ时,）
幂平均不等式:
注：例如:.
常用不等式的放缩法：①
②
(2）柯西不等式:　
(３)琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f（x),对于定义域中任意两点有
则称f（x）为凸（或凹)函数.
５。不等式证明的几种常用方法
　 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法。

（１)整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根,标轴，穿线（偶重根打结)，定解。
特例① 一元一次不等式ax〉b解的讨论；
②一元二次不等式ａｘ２+bx+c>0（a≠0)解的讨论。
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
(3）无理不等式：转化为有理不等式求解
　
　 　
（4）.指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（６)含绝对值不等式
应用分类讨论思想去绝对值; 　 应用数形思想；
应用化归思想等价转化
注：常用不等式的解法举例（x为正数)：
① 　 　
②
类似于，③
三、利用均值不等式求最值的方法
均值不等式当且仅当a=ｂ时等号成立）是一个重要的不等式，，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。
一、配凑
1. 凑系数
例1. 当时,求的最大值。
解析：由知,，利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可.
当且仅当，即ｘ＝2时取等号。
所以当x＝2时，的最大值为8.
评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
２。 凑项
例2.　已知，求函数的最大值。
解析:由题意知，首先要调整符号，又不是定值,故需对
进行凑项才能得到定值。
∵
∴
当且仅当，即时等号成立。
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
３． 分离
例3。 求的值域.
解析：本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有（x+１）的项，再将其分离。
当，即时
（当且仅当ｘ＝1时取“=”号)。
当,即时
（当且仅当x=-3时取“="号）.
∴的值域为。
评注:分式函数求最值，通常化成，
g（x）恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换
例4。 已知，求的最小值。
解法１:不妨将乘以１,而1用ａ+２b代换。
当且仅当时取等号,由
即时，的最小值为.
解法2：将分子中的１用代换。
评注:本题巧妙运用“1"的代换，得到,而与的积为定值,即可用均值不等式求