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极限计算方法总结
靳一东
《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。
求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难， 而极限学的好坏直接关系到 《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结， 然后通过例题给出 求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果
1 •定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）
说明：
（1） 一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如；lim-- = 0时,b为常数且a式0）； lxm2（3x 1）—5 ； limqn—*不存在"当＜ 1 ' 时；等等
（2） 在后面求极限时，（1；中提到的简不存1作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。
•极限运算法则
定理1已知lim f （x） , lim g（x）都存在，极限值分别为 A, B，则下面极限都存在,
且有 (1) lim[ f (x) _g(x)] = A_ B
(2) lim f (x) g(x)二 A B
⑶1汁器令此时需B"成立）
说明：极限号下面的极限过程是一致的； 同时注意法则成立的条件，当条件不满足时,
不能用。
•两个重要极限
(1)
=1
sin x lim
x—Q x
(2)
lim (1 x)x
Xr 0
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式,
作者简介：靳一东，男，（1964—）,副教授。
例如:
sin 3x
lim 1 ,
x
ijm(1 ?)3 = e ；等等。
.等价无穷小
定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是 0）。
定理3当XT 0时，下列函数都是无穷小（即极限是 0）,且相互等价，即有:
X 〜sin x 〜ta n x 〜arcs in x 〜arcta n x 〜ln (1 x)〜e x _ 1 。
说明：当上面每个函数中的自变量 x换成g(x)时(g(x)T 0),仍有上面的等价
3x 彳 c 2 2
关系成立，例如：当XrO时，e -1〜3x ； in(i - x)〜-x。
定理4如果函数
f (x),g(x), f'x), g'x)都是x》x°时的无穷小，且 f (x)〜
fj(x) , g(x)〜
f1(x) , . f (x)
g1(x)，则当lim 存在时，lim 也存在且等于
x >x0 g1 (x) x >"0 g(x)
r f1(X)
f (x) lim
j g,x)
5 •洛比达法则
，即 lim 丄血=lim f1(x)。 xy g(x) Fg'x)
定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数 f (x)和g(x)满足:
(1) f (x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；
f (x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；
f "(x)
lim 存在(或是无穷大)；
g (x)
f (x) f "(X) f(X) f"(X)
则极限lim 也一定存在，且等于lim . ，即lim =lim .
g(x) g (x)