§4-6 几种平面问题的直角坐标解
一、 多项式解答
适用性:
由一些直线边界构成的弹性体。
目的:
考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y) ,能解决什么样的力学问题。
——逆解法
检验φ(x,y) 是否满足双调和方程:
(1)
1. 一次多项式
(2)
(3)
对应的应力分量:
若体力:X = Y =0,则有:
结论1:
一次多项式对应于无体力和无应力状态;
在函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式,对应力无影响。
(1)
(2)
2. 二次多项式
(假定:X =Y = 0 ; a >0 , b >0, c >0)
(2) 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程,显然有
(3)计算应力分量:
(1)
x
y
2c
2c
2a
2a
结论2:
二次多项式对应于均匀应力分布。
结论2:
二次多项式对应于均匀应力分布。
2c
2c
x
y
x
y
2a
2a
结论2:
二次多项式对应于均匀应力分布。
x
y
结论2:
二次多项式对应于均匀应力分布。
试求图示板的应力函数。
3. 三次多项式
(1)
检验φ(x,y) 是否满足双调和方程,显然有
(2)
(假定:X =Y = 0)
(3)
计算应力分量:
结论3:
三次多项式对应于线性应力分布。
讨论:
可算得:
x
y
图示梁对应的边界条件:
M
M
可见:
—— 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。
由梁端部的边界条件:
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