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排列组合例题与解析【公式】 r n!P n= (n-r)! rr n!Pn n-r C n= r!(n-r)! = r! =C n 例题分析: 1 .首先明确任务的意义例 、2、3、……、 20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列,这样的不同等差数列有________ 个。分析:首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设 a,b,c 成等差, ∴ 2b=a+c, 可知 b由 a,c 决定, 又∵ 2b 是偶数, ∴ a,c 同奇或同偶,即:分别从 1,3,5, ……,19 或2,4,6,8, ……, 20 这十个数中选出两个数进行排列, 由此就可确定等差数列, C( 2,10 ) *2*P ( 2,2 ) =90*2*2 ,因而本题为 360 。例 2. 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道, 街道之间的间距相同, 如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从 M到N 有多少种不同的走法? 分析:对实际背景的分析可以逐层深入(一)从 M到N 必须向上走三步,向右走五步,共走八步。(二)每一步是向上还是向右,决定了不同的走法。(三)事实上,当把向上的步骤决定后,剩下的步骤只能向右。从而,任务可叙述为:从八个步骤中选出哪三步是向上走,就可以确定走法数, ∴本题答案为: =56 。 2 .分析是分类还是分步,是排列还是组合注意加法原理与乘法原理的特点,分析是分类还是分步,是排列还是组合例3 .在一块并排的 10 垄田地中,选择二垄分别种植 A,B 两种作物, 每种种植一垄,为有利于作物生长,要求 A,B 两种作物的间隔不少于 6垄, 不同的选法共有______ 种。分析: 条件中“要求 A、B 两种作物的间隔不少于 6垄”这个条件不容易用一个包含排列数,组合数的式子表示,因而采取分类的方法。第一类: A 在第一垄, B有3 种选择; 第二类: A 在第二垄, B有2 种选择; 第三类: A 在第三垄, B 有一种选择, 同理 A、B 位置互换,共 12 种。例4 .从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只,其中恰好有一双同色的取法有________ 。(A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析:显然本题应分步解决。(一)从 6 双中选出一双同色的手套,有 6 种方法; (二)从剩下的十只手套中任选一只,有 10 种方法。(三)从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只,有 8 种方法; (四)由于选取与顺序无关,因(二)(三)中的选法重复一次,因而共 240 种。或分步(1 )从 6 双中选出一双同色的手套,有 C(1,6)=6 种方法; (2 )从剩下的 5 双手套中任选两双,有 C(2,5)=10 种方法; (3) 从两双中手套中分别拿两只手套,有C( 1,2 ) *C( 1,2 ) =4 种方法; 同样得出共( 1)*(2)*(3) =240 种。例5 .身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列,在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮,则所有不同的排法种数为_______ 。分析:每一纵列中的两人只要选定,则他们只有一种站位方法,因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系,共有三纵列,从而有=90 种。例6 .在 11 名工人中,有 5 人只能当钳工, 4 人只能