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第一章 函数、极限和连续
§
函数
一、 主要内容
㈠函数的概念
：
y=f(x), x
€ D
定义域:
D(f),
值域：Z(f).

f ( x) x Di g( x) x D2
隐函数：F(x,y)= 0
反函数：y=f(x) t x=。(y)=f -1 (y)
y=f -i (x)
定理:如果函数：y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的；
则它必定存在反函数：
y=f -1 (x), D(f -1 )=Y, Z(f -1 )=X
且也是严格单调增加 (或减少)的。
㈡函数的几何特性
函数的单调性：y=f(x),x € D,x 1、x2 G D
当 x〔V x2 时,若 f(x 1) < f(x 2),
则称f(x)在D内单调增加()；
若 f(x ) > f(x ),
则称f(x)在D内单调减少()；
若 f(x 1) V f(x 2),
则称f(x)在D内严格单调增加()；
若 f(x 1) > f(x 2),
则称f(x)在D内严格单调减少()。
函数的奇偶性：D(f)关于原点对称
偶函数：f(-x)=f(x)
奇函数：f(-x)=-f(x)
函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x € (- 8, +8 )
周期：T 最小的正数
函数的有界性： |f(x)| < M , x € (a,b)
㈢基本初等函数
常数函数：y=c , (c为常数)
窑函数： y=x n , (n 为实数)
指数函数：y= ax , (a > 0、a丰 1)
对数函数： y=log a x ,(a > 0、a 丰 1)
三角函数： y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x
反三角函数： y=arcsin x, y=arccon x
y=arctan x, y=arccot x
㈣复合函数和初等函数
复合函数： y=f(u) , u= 4 (x)
y=f[ 4 (x)] , x € x
初等函数：
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函
§
一、 主要内容㈠极 限的概念
1. 数列的极限
lim yn A
n
（ }
称数列 yn
以常数 A为极限；
{ I
或称数列 y n收敛于 A.
'■{ { }
定理：若 yn的极限存在r yn 必定有界
：
⑴当xT —时，f (x)的极限：
lim f ( x广 A
igf ( x)=A 厂！血 f( x)久 x
⑵当x" xo时，f (x)的极限：
lim f ( x) A
x xo
lim f ( x) A
左极限：x T X 一
0
lim f ( x) A
—Ji
右极限： x x0
lim f (x)
x ' x0
lim f (x) A x x0
⑶函数极限存的充要条件：
lim f (x) A =
定理： .■
x x0
㈡无穷大量和无穷小量
无穷大量:
lim f (x)
称在该变化过程中 f (x) 为无穷大量。
X再某个变化过程是指：
x0 , x' x 0 , x「x0
2.
无穷小量:
lim f ( x)
称在该变化过程中
f (x)为无穷小量。
3.
无穷大量与无穷小量的关系:
定理:
lim f (x)
4.
无穷小量的比较:
a
lim
⑴若
⑵若
lim
lim
lim
,(f (x) 0)
f (x)
p
0, lim
0
，则称6是比
M较高阶的无穷小量;
c
(c为常数)
，则称6与d同阶的无穷小量;
⑶若
lim
a
1
，则称（3与a是等价的无穷小量，记作： 6〜a ；
⑷若
定理:
lim —
，则称6是比a较低阶的无穷小量。
若:
a 』
1~
则:
lim
ot
1
a
2
lim