排列组合公式——熊雄排列定义:从n个不同的元素中,取r个不重复的元素, 按次序排列,称为从 n 个中取 r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r) 表示。组合定义:从n个不同元素中取 r个不重复的元素组成一个子集,而不考虑其元素的顺序, 称为从 n个中取 r个的无重组合。组合的个数用 C(n,r) 表示。一、排列组合部分是中学数学中的难点之一,原因在于(1) 从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力; (2) 限制条件有时比较隐晦, 需要我们对问题中的关键性词( 特别是逻辑关联词和量词) 准确理解; (3) 计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大; (4) 计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原理,并具有较强的分析能力。二、两个基本计数原理及应用 1. 分类计数原理( 加法原理) 完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 1m 种不同的方法,在第2 类办法中有 2m 种不同的方法,…, 在第 n 类办法中有 nm 种不同的方法,那么完成这件事共有: 1 2 n N m m m ? ????种不同的方法. 2. 分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 1m 种不同的方法,做第2 步有 2m 种不同的方法,…, 做第 n 步有 nm 种不同的方法, 那么完成这件事共有: 1 2 n N m m m ? ????种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立, 任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段, 不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事, 即采取分步还是分类, 或是分步与分类同时进行, 确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题( 有序) 还是组合( 无序) 问题, 元素总数是多少及取出多少个元素. 4. 解决排列组合综合性问题, 往往类与步交叉, 因此必须掌握一些常用的解题策略具体情况分析一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 13C 然后排首位共有 14C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得 1 1 3 4 3 4 288 C C A ?练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二. 相邻元素捆绑策略例 人站成一排, 其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的 C 14A 34C 13 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主,需先安排特殊元素, 再处理其它元素. 若以位置分析为主, 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位置。若有多个约束条件,: 可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素, 同时丙丁也看成一个复合元素, 再与其它元素进行排列, 同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 5 2 2 5 2 2 480 A A A ?种不同的排法乙甲丁丙练习题: 某人射击 8 枪,命中 4 枪, 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 三. 不相邻问题插空策略例 3. 一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱, 舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种? 解: 分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 55A 种,第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的6 个元素中间包含首尾两个空位共有种 46A 不同的方法, 由分步计数原理, 节目的不同顺序共有 5 4 5 6 A A 种练习题: 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中, 且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四. 定序问题倍缩空位插入策略例 人排队, 其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:( 倍缩法) 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数, 则共有不同排法种数是: 7 3 7 3 / A A ( 空位法) 设想有7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47A 种方法, 其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法, 则共有
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