第35讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题.doc

普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]
高三新数学第一轮复习教案(讲座35)—曲线方程及圆锥曲线的综合问题
:
,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决,要加强等价转化思想的训练;
,进一步体会数形结合的思想;
。

近年来圆锥曲线在高考中比较稳定,解答题往往以中档题或以押轴题形式出现,主要考察学生逻辑推理能力、运算能力,考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容,要求有所降低,估计2007年高考对本讲的考察,仍将以以下三类题型为主。
(或轨迹)的方程,对于这类问题,高考常常不给出图形或不给出坐标系,以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力;
、参数范围问题,这类问题的综合型较大,解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确的构造不等式或方程,体现了解析几何与其他数学知识的联系。
预测07年高考:
;
,也可能出现在解答题中间的小问。


(1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下:
步骤
含义
说明
1、“建”:建立坐标系;“设”:设动点坐标。
建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。
所研究的问题已给出坐标系,即可直接设点。
没有给出坐标系,首先要选取适当的坐标系。
2、现(限):由限制条件,列出几何等式。
写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}
这是求曲线方程的重要一步,应仔细分析题意,使写出的条件简明正确。
3、“代”:代换
用坐标法表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0
常常用到一些公式。
4、“化”:化简
化方程f(x,y)=0为最简形式。
要注意同解变形。
5、证明
证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
化简的过程若是方程的同解变形,可以不要证明,变形过程中产生不增根或失根,应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。
这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”:建设现(限)代化”
(2)求曲线方程的常见方法:
直接法:也叫“五步法”,即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。
转移代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点,另一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解。
几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。
参数法:根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别动点的坐标,间接地把坐标x,y联系起来,得到用参数表示的方程。如果消去参数,就可以得到轨迹的普通方程。

(1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题
通常有两类:一类是有关长度和面积的最值问题;一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用,要注意观察、分析图形的特征,将形和数结合起来。
圆锥曲线的弦长求法:
设圆锥曲线C∶f(x,y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦长|AB|为:
若弦AB过圆锥曲线的焦点F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|.
在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,(x,y)的取值范围。
(2)对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题
它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法。
(3)实际应用题
数学应用题是高考中必考的题型,随着高考改革的深入,同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测,以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。
涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系,合理选择曲线模型,然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断,解题的一般思想是:
(4)知识交汇题
圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。

题型1:求轨迹方程
例1.(1)一动圆与圆外切,同时与圆内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。
(2)双曲线有动点,是曲线的两个焦点,求的重心的轨迹方程。
解析:(1)(法一