必修五数列知识点总结.doc

必修五 数列
★知识梳理

①； ②.
例1. ①已知下列数列的前项和，分别求它们的通项公式.
⑴； ⑵.
②设数列满足，则
③数列中，，求的值.
④已知数列的首项，其前项和．求数列 的通项公式．
⑤设、分别是等差数列、的前项和，，则 .
2. 数列的单调性
①递增数列:对于任何,均有.
②递减数列:对于任何,均有.
2010-2011海淀区高三年级期中
已知数列满足：
（I）求的值；
（Ⅱ）求证：数列是等比数列；
（Ⅲ）令（），如果对任意，都有，求实数的取值范围.

通项公式及前项和公式
⑴通项公式，为首项，为公差.
⑵前项和公式或.
等差中项:如果成等差数列，那么叫做及的等差中项.
即：是及的等差中项，，成等差数列.
等差数列的判定方法
⑴定义法：（，是常数）是等差数列；
⑵中项法：()是等差数列.
⑶)是等差数列
⑷是等差数列
等差数列的常用性质
⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；
⑵等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.
⑶；
⑷若，则；
⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；
，.求证：数列是等差数列.
等差数列的前项和的最值问题
⑴若有最大值，可由不等式组来确定；
⑵若有最小值，可由不等式组来确定.
，，.
⑴求数列的通项公式；
⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.

通项公式及前项和公式
⑴通项公式：，为首项，为公比 .
⑵前项和公式： ①当时，
②当时，.
等比中项
如果成等比数列，：是及的等，，，，中项，，成等差数列.
等比数列的判定方法
⑴定义法：（，是常数）是等比数列；
⑵中项法：()且是等比数列.
等比数列的常用性质
⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；
⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为.
⑶
⑷若，则；
⑸若等比数列的前项和，则、、、是等比数列.
，，，则 .

⑴利用观察法求数列的通项.
⑵利用公式法求数列的通项：①；
⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；②
⑷构造等差、等比数列求通项：
①； ②；
③
，已知，设，
求数列的通项公式．
（宣武二模理18）设是正数组成的数列，其前项和为，且对于所有的正整数,有．
(I) 求，的值；
(II) 求数列的通项公式；
（III）令，，（），
求数列的前 项和．

例5.⑴已知数列中，，求数列的通项公式；
⑵设是首项为1的正项数列，且，
则数列的通项 .
例6.⑴已知数列中，，求数列的通项公式；
⑵已知数列中，，求数列的通项公式.
例7.⑴数列中，，则的通项 .
⑵数列中，，则的通项 .
，，求数列的通项公式.

基本数列的前项和
⑴ 等差数列的前项和：
⑵ 等比数列的前项和：
①当时，；②当时，；
数列求和的常用方法：拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.
，公差，且，则 .
拆项分组法求和
求数列的前项和.
裂项相消法求和
⑴数列的前项和
⑵求和：；
⑶ 求和：.
倒序相加法求和
北京市宣武区2009~2010学年度第一学期期末质量检测
已知函数，为正整数．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）若数列的通项公式为（），求数列的前项和；
（Ⅲ）设数列满足：，，设，若（Ⅱ）中的满足对任意不小于3的正整数n，恒成立，试求的最大值.
，，.
⑴求的通项；
⑵设，求数列的前项和.
错位相减法求和
若数列的通项，求此数列的前项和.