高中数学知识梳理@7复数.doc

第七章 复数
1．知识结构：
复数概念
实部
虚部
复数相等
复数的模
共轭复数
复平面
复数运算
复数分类
实数
虚数
纯虚数
共轭复数运算性质
复数模的运算性质
2．基本要求：
理解复数的有关概念：复数、虚数、纯虚数，复数的实部、虚部，共轭复数、复数相等；理解复平面的有关概念：复平面、实轴、虚轴，复数的向量表示、复数的模、复平面上两点间的距离．
掌握复数的四则运算、平方根，1的立方根；会解实系数一元二次方程．
3．重点问题：
（1）利用复数的分类、复数相等、复数的运算求解复数问题；
（2）掌握复数的模、两复数差的模的几何意义，并解决模的最值问题；
（3）掌握实系数一元二次方程的根的问题．
4．思想方法与能力：
（1）将复数问题转化为实数问题的“化归思想”；
（2）通过对实系数一元二次方程的根的问题，把握分类讨论的数学思想；
（3）根据复数与复平面内的点的对应关系，注意数与形的转化．
复数的概念及运算（一）
知识梳理
1．复数概念：
（1）（），为虚数单位，为实部，为虚部
（2）共轭复数：
（3）复平面：实轴、虚轴，对应复平面上的点的坐标为
（4）复数的模：，其几何意义为对应点到原点的距离
2．复数分类：
（1）实数：
（2）虚数：
（3）纯虚数：且
3．复数相等：
设，，，则且
4．复数的四则运算
设，（），则
（1）
（2）
（3）（分母实数化）
5．共轭复数与模的性质
（1）； ；
（2）；
（3）；
（4）； 为纯虚数且
6．求解复数的方法
设（），转化为求实数的方程组
典型例题
【例1】判断下列命题的真假：
（1）设，若，则；
（2）设，若，则；
（3）设，则为纯虚数的充要条件是；
（4）设，若，则；
（5）设，则；
（6）设，则
解：（1）为真命题，其余都为假命题
【例2】实数m分别取什么数时，复数是
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应的点在第三象限；
（5）对应的点在直线上；（6）共轭复数的虚部为12
解：（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）
【例3】计算下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
解：（1） （2） （3）
说明：的幂运算具有周期性
【例4】（1）已知，设，求
（2）若，求
（3）若，求的值
解：（1）
（2），
（3）
【备用题1】已知，为纯虚数，，且，求
解：，则或
巩固练习
1．对于任意虚数，的共轭一定是 ，一定是 ，一定是 ，一定是
2．已知，则 ，
3．设，且的实部与虚部相等，则
4．计算
5．若，且，则
6．若，则
7．计算：的值为
8．计算：
9．复数，若，则的取值范围是
10．设复数满足，且是纯虚数，则
11．当为何值时，为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应点在第二象限？
12．设，虚数，且，求的值
复数的概念及运算（二）
典型例题
【例1】已知，若，求实数的值.
解：因为，
又
所以，所以
说明：复数相等的充要条件是解复数问题的重要依据
【例2】求复数，使，且
解一：设（）
由
故
又由知
解方程组，可得，，
解二：由，即，则，即或
当且时，或；
当且时，或
综上所述：，，
【例3】设是方程的一个根，求：
（1）
（2）
解：（1）1；（2）
【例4】设是虚数，是实数，且
（1）求的值及的实部的取值范围；
（2）设，求证为纯虚数；
（3）求的最小值.
解：（1）由且是纯虚数得，则
设 ，则，由知则，
（2）证明：
且，所以为纯虚数
（3）因为
当且仅当即时，有最小值为1
巩固练方根为
2．若一个复数的平方等于它的共轭复数，则此复数为
3．虚数满足，则
4．已知且，，则的值为
5．设复数，若，则下列关系式中正确的是（ ）
(A) (B) (C)