标准偏差和相对标准偏差.doc

标准偏差
出自 MBA智库百科(./)
　　标准偏差（也称标准离差或均方根差）是反映一组测量数据离散程度的统计指标。是指统计结果在某一个时段误差上下波动的幅度。是正态分布的重要参数之一。是测量变动的统计测算法。它通常不用作独立的指标而与其它指标配合使用。
　　标准偏差在误差理论、质量管理、计量型抽样检验等领域中均得到了广泛的应用。因此, 标准偏差的计算十分重要, 它的准确与否对器具的不确定度、测量的不确定度以及所接收产品的质量有重要影响。然而在对标准偏差的计算中, 不少人不论测量次数多少, 均按贝塞尔公式计算。
样本标准差的表示公式
　　数学表达式：
　　
S-标准偏差（%）
n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个
i-物料中某成分的各次测量值，1～n；
标准偏差的使用方法
　　z
在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。
如果价格保持平稳，这个指标值不高。
在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。
标准偏差的计算步骤
　　标准偏差的计算步骤是：
　　步骤一、(每个样本数据 － 样本全部数据之平均值)2。
　　步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。
　　步骤三、把步骤二的结果除以 (n - 1)（“n”指样本数目）。
　　步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。
六个计算标准偏差的公式[1]
标准偏差的理论计算公式
　　设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……ln。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有　　　　σ1 = li − X
　　σ2 = l2 − X
　　……
　　σn = ln − X
　　我们定义标准偏差(也称标准差)σ为
　　
　　 （1）
　　由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式
　　由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
　　于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）Vi来代替真差σ , 即
　　
　　设一组等精度测量值为l1、l2、……ln
　　则　
　　　　
　　　　……
　　　　
　　通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为
　　
　　将上式代入式(1)有
　　
　　　　　(2)
　　式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
　　它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
　　应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为
　　　　(2')
　　在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有
　　
　　于是, 式(2')可写为
　　　　(2")
　　按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。
标准偏差σ的无偏估计
　　数理统计中定义S2为样本方差
　　
　　数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计, 也就是说S和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差σ的无偏估计值为
　　　　(3)
　　令
　　则
　　即S1和S仅相差一个系数Kσ,Kσ是与样本个数测量次数有关的一个系数, Kσ值见表。
　　计算Kσ时用到
　　Γ(n + 1) = nΓ(n)
　　
　　Γ(1) = 1
　　由表1知, 当n>30时, 。因此, 当n>30时, 式(3')和式(2')之间的差异可略而不计。在n=30～50时, 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时, 由于Kσ值的影响已不可忽略, 宜用式(3'), 求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。
标准偏差的最大似然估计
　　将σ的定义式(1)中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到
　　
　　　　(4)
　　式(4)适用于n>50时的情况, 当n>50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。