正弦定理.doc

　正弦定理(一)
学习目标　．
知识点一　正弦定理的推导
思考1　如图，在Rt△ABC中，、、各自等于什么？
答案　＝＝＝c.
思考2　在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？课本是如何说明的？
答案　在一般的△ABC中，＝＝仍然成立，课本采用边AB上的高CD＝bsin A＝asin B来证明．
梳理　任意△ABC中，都有＝＝，证明方法除课本提供的方法外，还可借助三角形面积公式，外接圆或向量来证明．
知识点二　正弦定理的呈现形式
1.＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)；
2．a＝＝＝2Rsin A；
3．sin A＝，sin B＝，sin C＝.
知识点三　解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
类型一　定理证明
例1　在钝角△ABC中，证明正弦定理．
证明　如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，
根据正弦函数的定义知：
＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，＝sin B.
∴CD＝bsin A＝asin B．∴＝.
同理，＝.故＝＝.
反思与感悟　(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
(2)要证＝，只需证asin B＝bsin A，而asin B，bsin ，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
跟踪训练1　如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明＝2R.
证明　连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，
则圆周角∠A′＝∠A.
∵A′B为直径，长度为2R，
∴∠A′CB＝90°，
∴sin A′＝＝，
∴sin A＝，即＝2R.
类型二　用正弦定理解三角形
例2　在△ABC中，已知A＝°，B＝°，a＝ cm，解三角形．
解　根据三角形内角和定理，C＝180°－(A＋B)＝180°－(°＋°)＝°.
根据正弦定理，得b＝＝≈(cm)；
根据正弦定理，得c＝＝≈(cm)．
反思与感悟　(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，
所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．
(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：
①已知三角形的任意两角与一边；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．
跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值．
解　根据三角形内角和定理，
A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
根据正弦定理，得b＝＝＝9.
类型三　边角互化
命题角度1　化简证明问题
例3　在任意△ABC中，求证：a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋c(sin A－sin B)＝0.
证明　由正弦定理，令a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，k>：
左边＝k(sin Asin B－sin