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《函数的对称性》高一数学知识点总结
一、函数自身的对称性探究
定理 1. 函数 =f(x) 的图像关于点 A(a,b) 对称的充要条件是
f(x)+f(2a －x)=2b
证明：（必要性）设点 P(x,) 是=f(x) 图像上任一点， ∵点 P(x,) 关于点 A(a,b) 的对称点 P' （2a－x，2b－）也在 =f(x) 图像上，∴ 2b
=f(2a －x)
+f(2a －x)=2b 故 f(x)+f(2a －x)=2b ，必要性得证。
（充分性）设点 P(x0,0) 是=f(x) 图像上任一点，则 0=f(x0)
∵f(x)+f(2a －x)=2b ∴f(x0)+f(2a －x0)=2b ，即 2b－0=f(2a －
x0) 。
故点 P' （2a－x0，2b－0）也在 =f(x) 图像上，而点 P 与点 P'
关于点 A(a,b) 对称，充分性得征。
推论：函数 =f(x) 的图像关于原点 O对称的充要条件是 f(x)+f( －x)=0
定理 2. 函数 =f(x) 的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是
f(a+x)=f(a －x) 即 f(x)=f(2a －x) （证明留给读者）
推论：函数 =f(x) 的图像关于轴对称的充要条件是 f(x)=f( －x)定理 3. ①若函数 =f(x) 图像同时关于点 A(a,c) 和点 B(b,c) 成中
心对称（ a≠b），则 =f(x) 是周期函数，且 2a－b 是其一个周期。
②若函数 =f(x) 图像同时关于直线 x=a 和直线 x=b 成轴对称（ a ≠b），则 =f(x) 是周期函数，且 2a－b 是其一个周期。
③若函数 =f(x) 像既关于点 A(a,c) 成中心 称又关于直 x=b 成 称（ a≠b）， =f(x) 是周期函数，且 4a－b 是其一个周期。
①②的 明留 者，以下 出③的 明：
∵函数 =f(x) 像既关于点 A(a,c) 成中心 称，
f(x)+f(2a －x)=2c ，用 2b－x 代 x 得：
f(2b －x)+f[2a －(2b －x)]=2c ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（
又∵函数 =f(x) 像直 x=b 成 称，
∴f(2b －x)=f(x) 代入（ * ）得：
f(x)=2c －f[2(a －b)+x] ⋯⋯⋯⋯（ ** ），用

* ）
2（a－b）－ x

代
x 得
f[2(a －b)+x]=2c －f[4(a －b)+x] 代入（ ** ）得：
f(x)=f[4(a －b)+x], 故=f(x) 是周期函数，且 4a－b 是其一个周
期。
二、不同函数 称性的探究
定理 4. 函数 =f(x) 与=2b－f(2a － x) 的 像关于点 A