方阵对角化.pdf

Linear Algebra M. H. Xu
第第第四四四章章章方方方阵阵阵对对对角角角化化化
§ 1 方方方阵阵阵的的的特特特征征征值值值和和和特特特征征征向向向量量量
许许许多多多实实实际际际问问问题题题, 如如如振振振动动动问问问题题题和和和稳稳稳定定定性性性问问问题题题以以以及及及数数数学学学中中中诸诸诸如如如方方方阵阵阵对对对角角角
化化化, 微微微分分分方方方程程程组组组及及及多多多元元元二二二次次次齐齐齐次次次多多多项项项式式式的的的化化化简简简等等等问问问题题题, 都都都要要要用用用到到到特特特
征征征值值值的的的概概概念念念, 此此此外外外, 矩矩矩阵阵阵级级级数数数及及及线线线性性性方方方程程程组组组的的的迭迭迭代代代解解解法法法的的的收收收敛敛敛性性性均均均
与与与矩矩矩阵阵阵的的的特特特征征征值值值有有有关关关.
1. 特特特征征征值值值,特特特征征征向向向量量量: 设设设A为为为n阶阶阶方方方阵阵阵, 若若若数数数λ和和和n维维维非非非零零零向向向量量量x满满满足足足
Ax = λx,
那那那么么么数数数λ称称称为为为方方方阵阵阵A的的的特特特征征征值值值, 非非非零零零向向向量量量x称称称为为为矩矩矩阵阵阵A的的的对对对应应应于于于特特特征征征
值值值λ的的的特特特征征征向向向量量量.
Linear Algebra M. H. Xu
应应应用用用举举举例例例: 若若若λ1, λ2, · · · , λn是是是n阶阶阶矩矩矩阵阵阵A的的的n个个个特特特征征征值值值, p1, p2, · · · ,
pn分分分别别别为为为对对对应应应的的的特特特征征征向向向量量量, 且且且线线线性性性无无无关关关, 设设设P = (p1, p2, · · · , pn), 则则则
微微微分分分方方方程程程组组组
     
dx1 a a · · · a x
 dt   11 12 1n   1 
 dx2     
   a21 a22 · · · a2n   x2 
 dt     
 .  =  . . .   . 
 .   . . .   . 
 .   . . .   . 
dxn
dt an1 an2 · · · ann xn
则则则上上上述述述微微微分分分方方方程程程组组组在在在变变变换换换x = P y下下下可可可以以以简简简化化化为为为
      
dy1 dy
λ1 y1  1
 dt       dt = λ1y1
 dy      
2  dy2
 dt   λ2   y2  = λ2y2
  =     , 即即即 dt .
 .   ..   .  
 .   .   .   · · ·
      
dy