解最值问题的几种方法.doc

解“最值问题”的几种方法
　　【中图分类号】 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018） 11-0286-02
　　最值问题是我们所熟悉的问题，如今，经历了中学乃至大学的知识学习，我们接触到了各种各类的最值问题，同时我们也相应学习了求解各类最值问题的方法，而这些方法也有助于我们解决生活中各式各样的最值问题，下面我就为大家归纳下求解最值问题的几种方法.
　　一、配方法
　　对于可以转换成“一元二次函数型”的函数，我们都可以利用配方法对其最值进行求解.
　　例1 求在区间内的最值.
　　分析 本题看上去较为复杂，包括不同类型指数的运算，但稍加观察的话，你就会发现，此中的函数是可以转化为“一元二次型的函数”，再之后，答案也就呼之欲出了：
　　又，有，所以，当时，取得最大值为；当时，.
　　二、判别式法
　　对于一元二次方程，我们可以利用来判断其是否存在实根，那么对于一个一元二次函数，若其值域不为空集的话，那么我们就可以认为方程的判别式，由此求得原一元二次函数的值域，进而就可以求得该一元二次函数在某定义域内的最值情况.
　　例2 求函数的最值.
　　分析 本题可以利用配方法进行求解，，可以发现函数的值域不会为空集，：
　　原等式可化为：
　　（）
　　可以得到
　　若，则有；若，则有.
　　于是，则；若，则.
　　这边需要注意的一点是，我们不能随意的断定等号是否会成立，还需要进行一项后续工作，将等号的值代入原方程，观察原方程是否有实数解，，我们就可以直接确定最值了.
　　三、换元法
　　对于一些特殊的函数，我们可以利用换元法对其进行最值求解，基本思想是将某一部分当做一个整体或者用一个新的变量来代替某一整体，达到化繁为简，化陌生为熟悉，.
　　例3 求函数的最值.
　　分析 对于这类含根号的函数，为了化繁为简，：
　　由于，则所隐含的定义域为，于是，我们可以令，
　　则
　　又，则，故当时，即时，取得最大值为；
　　当时，即时，取得最小值为
　　四、不等式法
　　不等式法求解最值问题主要是利用以下几个重要的不等式及其变形来处理最值问题的.
　　不等式：（），其中
　　调和平均数： ② 几何平均数：
　　③算术平均数： ④平方平均数（均方根）：
　　注意：当且仅当时等号成立.
　　在用不等式求函数的最值时，经常需要配合某些变形技巧，结合已知条件进而进行求解.
　　例4 设，，记中最大数为，则的最小值为多少？
　　分析 本题的计算涉及到对数，准确应用对数的运算性质，认真观察，发现其中的技巧.
　　由已知条件可得所求为中最大的数，不妨设中最大的数为A，，所以，当且仅当时等号成立，此时为最小，那么A能否取到最小值2呢？容易知道，当时，，即A可以取得最小值2，从而的最小值为.
　　五、单调性法
　　求解函数在指定区间的最值的时候，我们应该考查该函数在该指定区间内的单调性情况