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二维各向同性均匀随机介质中平面波的传播
及其局域性1
丁锐，王志良，小仓久直
复旦大学波散射与遥感信息教育部重点实验室 上海 (200433)
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摘 要： 讨论了二维各向同性均匀随机介质中平面波的传播及其局域性。假设二维随机介
质具有各向同性窄带高斯谱，运用随机泛函理论给出了二维介质中随机平面驻波的解析近似
解及其幅度和相位的定量统计特性。计算结果证实了波在随机介质中传播时的局域性。将二
维介质中的平面波和柱面波的传播特性作了对比。数值结果模拟了二维随机介质场及平面驻
波，并验证了本文结果的正确性。
关键词：随机介质 随机泛函 平面波 局域性
中图分类号：O044
1. 引 言
1958 年Anderson在研究晶体点阵中的电流传播时最先提出了局域性的概念[1]。1979 年，
Abraham等人[2]运用标度理论论证了无量子扩散条件下的局域性现象并提出电流的局域性是由
电子本质上的波动特性所决定。随后，电磁波在随机介质中的传播及其局域性问题就受到越
来越多的关注。电磁波的局域性分为弱局域性和强局域性，弱局域性又称为增强的后向散射，
描述了电磁波在随机介质中漫散射时的角分布特性；强局域性又称为Anderson局域性，描述
了电磁波在随机介质中无漫散射时的传播特性。本文所讨论的局域性属于后者。目前已有大
量研究从理论和实验上讨论了电磁波在随机介质中的局域化特性。对于一维情形，早在 1975
年Ogura[3]就给出了定量的分析，1988 年Smith[4]用实验进行了验证；2002 年Ziegler[5]用标度
理论再次证明并用数值方法进行讨论。对于二维情形，虽然也有很多研究，但它们或针对于
特定的介质模型[6-10]，或针对于数学特征值问题[11-14]，或在频域内定性描述波的传播特性
[15,16]，没有对随机介质中波的传播特性及局域性给出解析的定量描述。本文将运用随机泛函
理论讨论二维各向同性均匀连续随机介质中平面波的传播问题及其局域性，给出随机平面驻
波的解析近似解以及幅度和相位的定量统计特性。
二维空间 R ， r ==xy,, rθ 上笛卡尔坐标系或柱坐标系中的波动方程为
2 ()()D P
22
⎡⎤⎣⎦∇+k ()1, +εωψω()rr() ,=0 （1）
其中 ε (r,ω)代表随机介质，ω ∈Ω表示随机介质的一个取样或实现， Ω 为概率样本空间。
ψ (r,ω)既是介质场的随机泛函，又是 r ∈ R2 上的函数。为表达简单，参数ω 在下文中有时会
被略去。假定介质场 ε (r,ω ) 是各向同性均匀的，即它的概率特性在R2 空间上的平移和旋转
算子的作用下保持不变，我们称之为随机对称性。在这样的随机介质中，由于平移和旋转的
不变性，既存在平面波又存在柱面波，其中随机柱面波在 kr 足够大时的渐近解形式也具有
指数增长或衰减的幅度特性[17]。
本文假设介质是具有各向同性窄带谱的高斯随机场，运用随机泛函理论[3,18]，基于平移

1 本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金(批准号：20060246029)资助。
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算子的特性讨论