实对称矩阵的相似对角化-课件（PPT·精·选）.ppt

激光美容网 http:// 、对称矩阵的特征值和特征向量希望找使激光美容网 http:// : 求A的n个标准正交的特征向量。定理实对称矩阵的特征值都是实数。定理实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。证明 A,实对阵矩阵; ?、?,A的两个不同的特征值; X、Y,A的分别对应于?、?的特征向量。则 Y AY X AX????, 激光美容网 http:// TTTTTXAXX AX?????)()(YXYAXXAX TTTT)()(??????0)(?????YXYXYX T TT????又?-?≠0,所以,即 0?YX T0),(??YXYX T 由此得 X与Y正交。▌激光美容网 http:// 、实对称矩阵的相似对角化定理设是n阶实对称矩阵 A的任一特征值, p、q 分别为的代数重数和几何重数,则 p =q。 0? 0?推论实对称矩阵可相似对角化。激光美容网 http:// 矩阵???????????210 120 001A 有特征值 1(二重)和3,对应的特征向量为 TT TXXX)1,1,0(,)1,1,0(,)0,0,1( 321????容易验证, 是正交向量组。令 321,,XXX 33 322 211 1|| 1,|| 1,|| 1XX XX XX ??????激光美容网 http:// 准正交的特征向量。 321,,???令???????????????????????2 12 10 2 12 10 001][ 321???Q 则Q是正交矩阵且????????????3 1 1 1 AQ Q 激光美容网 http:// 矩阵???????????????242 422 221A 有特征值 2(二重)和-7,对应的特征向量为 T TTXXX)1,1,2 1(,)1,0,2(,)0,1,2( 321??????容易验证, 但与不正交。 3231,XXXX?? 1X 2X 激光美容网 http:// 行 Schmidt 正交化: 1X 2X 11X?? TXX)1,5 4,5 2(),( ),( 111 1222????????则与也是 A对应特征值 2的特征向量。这样, (= ) 是两两正交的特征向量。 1? 2? 3?,, 21?? 3X 再令 33 322 211 1|| 1,|| 1,|| 1????????????激光美容网 http:// 准正交的特征向量。 321,,???令??????????????????????????????3 253 50 3 253 45 1 3 153 25 2][ 321???Q 激光美容网 http://