2011年初三初赛评分细则.doc

2011年全国初中数学联赛四川初赛试题
参考答案及评分细则
一、选择题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）
1、D 2、C 3、B 4、B 5、C 6、A
二、填空题（本大题共4个小题，每小题7分，共28分）
1、4 2、 3、2 4、
三、（本大题满分20分）
已知抛物线与直线．无论取任何实数，
此抛物线与直线都只有一个公共点，求抛物线的解析式.
解：联立，消得， （5分）
由条件知
对任何的实数恒成立， （10分）
则， （15分）
解得．所以所求抛物线的解析式为． （20分）
四、（本大题满分25分）
如图，与都是等腰直角三角形，其中，点是线段的中点，求证：．
证明：如图，延长至，使得,
连结,设交于,交于．
∵
∴四边形为平行四边形 （5分）
∴∥，且
∴ （10分）
∴
∴，即 （15分）
又∵与都是等腰直角三角形
∴，
∴≌（） （20分）
∴，
∴，
∴，即． （25分）
五、（本大题满分25分）
已知为实数，若关于的方程有实数解，
求实数的取值范围．
解：令，显然，当时．
又由于，故，等号在时取到，即．
所以． （5分）
原问题变为关于的方程在时有实数解．
因为， （10分）
于是当时，有最小值； （15分）
又因为时，；当时，；所以有最大值． （20分）
综上所述，实数的取值范围为． （25分）