三反证法与放缩法 (2).ppt

三、反证法与放缩法
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已知：x, y>0, 且x+y>2。试证明：
中至少有一个小于2。
分析：
于是考虑采用反证法。
，要分三种情况；
。
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证明
假设
都不小于2，即
因为x>0, y>0, 所以1+x≥2y, 1+y≥2x
把这两个不等式相加，得
2+x+y≥2x+2y , 2≥x+y , 即 x+y≤2
这与已知x+y>2相矛盾。
因此，
都不小于2是不可能的，
即原命题成立。
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已知：x, y>0, 且x+y>2。试证明：
中至少有一个小于2。
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已知a, b, c为实数，a+b+c>0,
ab+bc+ca>0, abc>0, 求证: a>0, b>0, c>0。
要证的结论与条件之间的联系不明显，
直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是
考虑采用反证法。
假设a, b, c不全是正数，这时需要逐个讨论
a, b, c不是正数的情形。
由于已知条件有一个特点：任意交换a, b, c
的位置不改变命题的条件。所以我们只要讨
论其中一个数，其他两个数与这种情形类似。
分析：
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证明：
假设a, b, c不全是正数，即其中至少有一
个不是正数，不妨设a≤0。分两种情况讨论。
①如果a=0，则abc=>0矛盾，
　所以a=0是不可能的。
②如果a<0，那么由abc>0得bc<0
因为a+b+c>0，所以b+c>-a, b+c>0, a(b+c)<0
a(b+c)+bc<0
这与已知ab+bc+ca>0相矛盾。
所以，a<0也不可能。
综上所述，a>0
同理可证，b>0, c>0.
所以原命题成立。
, b, c为实数，a+b+c>0,
ab+bc+ca>0, abc>0, 求证: a>0, b>0, c>0。
所以ab+bc+ca<0
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已知a, b, d∈R+，求证
若把中间代数式通分相加，则运算非常复杂，
难度太大。
分析：
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分析此式的形式特点，可以通过适当放缩，
使不等式简化，从而得证。
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缩小法
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放大法
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证明：
因为a, b, c, d∈R+，所以
已知a, b, c, d∈R+，求证
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所以
把以上四个不等式相加，得
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