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第9章有限元法在边坡稳定分析中的应用
9. 1 概述
随着计算机软件硬件的飞速发展采用理论体系更为严格的方法进行边坡稳定分析已
经成为可能有限单元法全面满足了静力许可应变相容和应力应变之间的本构关系同
时因为是采用数值分析方法可以不受边坡几何形状的不规则和材料的不均匀性的限制
因此应该是比较理想的分析边坡应力变形和稳定性态的手段
与传统的极限平衡法相比边坡稳定分析的有限元法的优点可总结如下
(1) 破坏面的形状或位置不需要事先假定破坏自然地发生在土的抗剪强度不能抵
抗剪应力的地带
(2) 由于有限元法引入变形协调的本构关系因此也不必引入假定条件保持了严密的
理论体系
(3) 有限元解提供了应力变形的全部信息
有关有限元的基本原理及其在边坡稳定分析中的应用已有很多的文献沈珠江 1990
陈胜宏 2001 介绍作者也另有专著陈祖煜等 2003 介绍了采用有限元法求解第 6 章
中所列渗流固结和应力应变分析控制方程的详细方法本章 节简要介绍这一计算方法
的解题思路以及三角形四边形单元的离散方法并介绍有限元法在小浪底和务平工程中的
应用
如何将有限元计算成果与传统的安全系数挂钩成为直接用于边坡设计的判别依据也
是广泛受到重视的课题近期在这方面获得了有意义的成果本章将简要介绍这方面的成果


9. 2 求解渗流和应力应变控制方程的有限元方法
9. 2. 1 基本原理
第 6 章所述求解渗流和应力应变的数学提法是在体力{fb}和边界上面力{T }的作用
下求满足微分方程式() 式() 式() 式()和边界条件式() 式()
式() 式()和式()的位移场{W}和水头场 h 用有限元求解这些偏微分方程组边
值问题其基本途径是找出一个泛函π({W} h) 当{W}和 h 为该偏微分方程边值问题解时
π获得极值
可以证明所寻找的泛函由下式确定
240 土质边坡稳定分析原理⋅方法⋅程序
π(){} W ,h = π1 + π 2 + π 3 + π 4 + π 5 + π 6 + π 7 ()
其中
1
π= −{∆σ′}T ∗{ε}dV −{σ′}∗{ε}dV ()
1 ∫ V 2 ∫ V 0
π= γ(h − y)∗{}a T {ε}dV ()
2 ∫ V w
1
π= γ{}∇ T h*{k}*{∇}hdV ()
3 ∫ V 2 w
1 γ 2
π= w (h − 2h )∗hdV ()
4 ∫ V 2 Q 0
π= −{}f T ∗{W}dV ()
5 ∫ V b
T
π 6 = {} T ∗{}W ds ()
∫s1
π 7 = γ w ∗ q ∗ hds ()
∫s4
这一命题的理论证明可参见文献陈祖煜等 2003


9. 2. 2 有限元解法
采用数值分析方法求解使获得极值的水头和位移场包括以下步骤
1. 离散化
将所研究的域 V 分成 n 个单元共 m 个节点这 m 个节点的{W}用{v}来代表即
T
{ν} = (Wx1,Wy1,Wx2 ,Wy2 ,LL,Wxm ,Wym ) ()
同样用{ϕ}代表这 m 个节点的{h}值
T
{ϕ} = (h1, h2 ,LL, hm ) ()
任一点的{W}和 h 可用该点所属单元的节点{W}e 和{h}e 近似表示本质上也就是可用
{ν}和{ϕ}代表于是π可以近似地用{ν}和{ϕ}来代表即
π({W}, h) = π({ν},{ϕ}) ()
根据里兹法的原理使π取得极值的{ν}和{ϕ}满足Ο

Ο T T
对于某一行向量{a} 我们定义 C/{a} 为一列向量{b} 它满足
第 9 章有限元法在边坡稳定分析中的应用 241
∂π
∂W 
 x1 
∂π
∂W 
 y1 
∂π∂π
= = 0 ()
T {}
∂{}ν∂Wx2 
 M 

M
∂π

∂Wym 

∂π
∂ h 
 1 
∂π
∂π∂ h 
= 2 = {0} ()
T 
∂{}h  M 
 M 
∂π

∂ hm 

其中{0}为元素均为零的向量由式()和式(