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知识点：集合大小定义的标准
作为集合大小的定义，应该满足什么样的基本要求 ?我们当然要尽可能地使 它符合一般的关于大小的常识和直觉， 其中有许多是要比整体大于部分更加要紧 的。首先，一个集合的大小只应该取决于这个集合本身。 我们知道一个集合可以用多种方法来构造和表示，比如说，
A={小于等于2的正整数}
B={1,2 }
C={x2-3x+2=0 的根}
其实都是同一个集合，
D={n | n为自然数，且方程xn+yn=zn有xyz0的整数解}
又怎么样呢？2019年英国数学家怀尔斯证明了费尔马大定理， 所以集合D和上面 的集合A B、C是同一个集合，它里面有两个元素1和2。我们记得，一个集合 由它所含的元素唯一决定， 所以它的大小也不能取决于它被表示的方法， 或者被 构造的途径，它只应该取决于它本身。
一个集合得和自己一样大，这个没有什么好说的；其次，如果集合A不小于（也就 是说或者大于，或者一样大）集合B，而集合B也不小于集合A,那么它们就必须 是一样大的；第三，如果集合A不小于集合B,而集合B又不小于集合C,那么集 合A就必须不小于集合G在数学上，我们称满足这三个条件的关系为偏序关系 （ 注：严格地说，这个偏序关系并不定义在集合之间，而是定义在集合按一样大 这个等价关系定义出的等价类之间， 关于偏序关系的严格定义的叙述和上面所说 的也有区别， 但这些问题在这里并不要紧， 你如果看不懂这个注在讲什么也不要 紧）。如果一个关于集合大小的定义违反了上面所说的三条之一，这个定义的怪 异程度一定会超过上面使用一一对应原则的定义 !
举个例子， 比如说我对某位科幻小说作家的喜爱程度就是一个偏序关系。 如果我 喜欢阿西莫夫胜于喜欢凡尔纳， 而喜欢凡尔纳又胜于喜欢克拉克， 那在阿西莫夫 和克拉克中， 我一定更喜欢阿西莫夫。 不过一个偏序关系并不要求任意两个对象 都能相互比较。比如说刘慈欣的水平当然不能和克拉克这样的世界级科幻大师 比，但是喜欢是一种很个人的事情， 作为一个中国人， 我对中国的科幻创作更感 兴趣所以似乎不能说我更喜欢克拉克， 但也不能说我更喜欢刘慈欣， 而且也不能 说同样喜欢， 因为喜欢的地方不一样所以更确切地也许应该说， 他们俩之间不能 比较。但偏序关系中存在这样的可能性， 有一个对象可以和两个不能相互比较的 对象中的每一个相比较，比方说我喜欢阿西莫夫胜过刘慈欣和克拉克中的任一 个。
不过作为集合大小的定义， 我们希望能够比较任意两个集合的大小。 所以， 对于 任何给定的两个集合A和B,或者A比B大，或者B比A大，或者一样大，这三 种情况必须有一种正确而且只能有一种正确。这样的偏序关系被称为全序关系。 最后，新的定义必须保持原来有限集合间的大小关系。 有限集合间的大小关系是 很清楚的， 所谓的大， 也就是集合中的元素更多， 有五个元素的集合要比有四个 元素的集合大，在新的扩充了的集合定义中也必须如此。 这个要求是理所当然的， 否则我们没有理由将新的定义作为老定义的扩充。 整体大于部分原则的困难和一一对应原则的优点
满足上面几条要求的定义， 最简单的就是认为无限就只有一种， 所有的无限集合 都一样大， 而它们都大于有限集合。 这其实是康托尔创立集合论以前数学家的看 法，所以康托尔把无限分成许多类的革命性做法使得数学家们大吃了