函数的连续性.docx

第九节 函数的连续性和间断点
有了极限的概念，我们就可以来讨论函数的一种重要特性——连续性。 首先，我们应注意到连续性也是客观现实的反映， 是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。 如气温 T 随时间 t 的变化而连续变化， 铁棒长度 l 随着温度 u 的变化而连续变化等。 它们的共同特性是： 一方面在变化， 另一方面是在逐渐变化的。可在很短一段时间内， T 的变化很小；同样当温度 u 变化很小时， l 的变化也很小。这些现象反映在数学上就是自变量有一个微小的变化时， 函数的变化也是微小的。下面我们就专门来讨论这种概念。
一、函数的连续性
预备知识
改变量：设变量 u 从它的一个初值 u1 变到终值 u2 ，终值与初值的差 u2 u1 ，就叫 u 的改变量，记作 u u2 u1 。改变量也叫增量。
注意：① u1 ， u2 并不是 u 可取值的起点和终点，而是 u 变化过程中从 u1 变到
u2 。
② u 可正可负。
③ u 是一个整体记号，不是某个量
与变量 u 的乘积。
2. 函数 y
f
x
在 x x0 处连续的定义
y
定义 1
当自变量 x 在点 x0 的改变
量 x 为无穷小时，相应函数的改变量
y f x
y f x0
x
f x0
f x
f x0
也是同一过程中的无穷小量，即
lim
y
0 ，
x 0
则称 f x 在 x0 处连续，见图 1-37.
f ( x0 )
定理 1
f
x
在 x0 处连续的充要条
x
件是 lim f
x
f
x0
。
O
x0
x0
x x0
证明
由定义 1，
图 1-37
lim y 0
lim
f
x
f
x0
0
x 0
x
x0
lim
f
x
lim
f
x0 0
x
x0
x x0
lim
f
x
f
x0 .
x
x0
由定理 1，我们可将定义
1 改写为以下定义 2.
定义 2
如果
0 ，
0 ，当 x
x0
时，有 f x f
x0
x0 处连续。
函数 y f x 在点 x0 连续的要求
⑴ f x 在点 x0 有意义，即有确定的函数值 f x0 ；
lim f x 存在；
x0

y
f ( x0 x)
x x
，则 f x
⑶极限值 函数值，即 lim f x f x0 。
x x0
这三要素缺一不可。
连续与极限的区别
当 f x
在 x0 处有极限时， f
x 在 x0 处可无定义，也可有 lim f
x
f
x0 。
x
x0
而当 f
x 在 x0 处连续时， f
x 在 x0 一定有意义并且 lim f
x
f
x0
必成
x x0
立。
所以，函数 y f
x
在点 x0 处连续，则函数 y f
x 在 x0 点处必有极限，反
之不成立。
5. 左右连续
定义 3
如果 lim
f
x
f x0
0
f
x0 ，则称 f
x 在 x0 处右连续；如果
x x0
lim f x