一、立体体积
二、曲面的面积
三、物体的质心与形心
四、物体的转动惯量
五、物体间的引力
§ 重积分的应用
第十章
.
1. 能用重积分解决的实际问题的特点
所求量是
对区域具有可加性
二重积分应用：计算一小片dσ上部分量的近似值
用微元法 (或元素法)建立被积表达式
分布在有界闭域(平面或空间)上的整体量
2. 用重积分解决问题的方法
三重积分应用：计算一小块dv上部分量的近似值
以后学到的线积分、面积分应用也是这个思想(微元法 )
微元
.
一、立体体积
曲顶柱体的顶为连续曲面
则其体积为
占有空间有界域 的立体的体积为
.
例1. 求半径为a 的球面与半顶角为 的
内接锥面所围成的立体的体积.
解: 建坐标系如图:
则立体体积为
.
二、曲面的面积
设光滑曲面
则面积 A 可看成曲面上各点
处小切平面的面积 d A 无限积累而成.
设它在 D 上的投影为 d ,
(面积微元或
面积元素)
则
.
例3. 计算半径为 a 的球的表面积.
解:
设球面方程为
曲面在 xoy 面上投影为
由对称性,所求面积为上半球面
面积的二倍
.
( 为瑕积分)
a为瑕点
.
三、物体的质心
设空间有n个质点,
其质量分别
由力学知, 该质点系的质心坐标
设物体占有平面域 D ,
并有连续密度函数
则
分别位于
为
为
其质心公式 . 推导如下:
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