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探讨求递推数列的通项公式的方法
湖北房县第二中学 任传奎
数列是高中教材的重要组成部分， 递推数列是数列的重要内容之一， 求递推数列的通项公式是数列的重要题型之一， 也是学生感觉较难的内容之一。 常见递推数列的通项公式的求
法有没有规律呢？如果有， 那么规律性体现在哪里？从数学教案的思想和目标来说， 求递推
数列的通项公式应该注重通法， 即用数学归纳法的思想探求数列的通项公式， 如果递推公式
的比较特殊， 用数学归纳法的思想完成通项的公式往往又比较麻烦， 不容易甚至不能猜出公
式，所以我们常常探讨特殊模型的递推数列的通项公式求法的规律性。
常见数列 an 的递推公式从形式上可以分为四大类：
Ⅰ 递推公式中给出 an 1 与 an 的关系（即数列 an 的连续两项的关系） ；
Ⅱ 递推公式中给出 an 2 与 an 1 与 an 的关系（即数列 an 的连续三项的关系） ；
Ⅲ 递推公式中给出类似于 an 与前 n 项和 Sn 的关系。
其它类型
（一） 我们先来探讨第Ⅰ类（它是三类中的基础）的通项公式的求法：
⑴ 形如 an
1
an
f (n) 型（一般
f (n)
容易求和），通常用累加法或叠加消项法；
例：已知数列
an
， a1
2 ， an 1
an
3n
2 ，求 an ．
解：由 an 1
an
3n
2 得： an 1
an
3n
2
当 n
2时， an
an 1
3( n 1) 2
an
1
an 2
3( n
2)
2
⋯⋯
a2
a1 3
1
2
∴
an
a1
3 1 2
(n
2) ( n 1) 2(n
1)
3n( n
1)
2( n
1)
2
∴
an
3n(n 1)
2(n
1)
a1
3n2
n ( n
2)
2
2
当 n
1时 a1
2 满足上式，
an
3n 2
n ( n
N )
2
1 / 11
⑵ 形如 an 1 an f (n) 型（一般 f (n) 容易求积），通常用累积法；
例如：已知数列 an
， a1
2, an 1
n
，求 an ．
an
n 1
解法一：由
an 1
n
得： an
1
n
n 1an
an
n 1
∴ 当 n
an
n
1
2时，
n
an 1
an
1
n
2