高等院校非数学类本科数学课程
大学数学
(三)
多元微积分学
第二章
多元函数积分学
第一节黎曼积分(续)
黎曼积分的性质
设为 R3 中的可度量的几何形体,
则
黎曼积分应具有一些极限所具有的性质
这就是说,
性质1
若
则
其中,
为区域
的度量值。
回想上节课讲的质量计算以及在均匀变化时
质量= 密度×几何形体的度量值
就可以理解这个性质。
二重积分:相当于以D为底,高为1 的平顶柱体体积V= |D|。
定积分
(区间[a, b]的长度)
二重积分
(平面区域 D 的面积)
(R3 中立体的体积)
三重积分
曲线积分
(平面曲线 L 的弧长)
曲面积分
(曲面∑的面积)
例1
计算
解
这相当于质量问题中的
(均匀分布)
故
常数因子提出来?
极限中有这个性质没有?
比较一下:
以D 为底高为 4 的平顶柱体体积
例2
性质2
(线性性质)
若
为实数,
则
且
该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形
由函数
对区域和函
数 f (X) , g (X) 进行分割, 代替, 求和, 取极限得
由极限的运算法则,有
证
性质3
(对积分区域的可加性)
定积分的这个性质大家十分熟悉,现在看看
二重积分的情形:
表示以 D 为底,以
为
顶的曲顶柱体的体积。现在将 D 分成两部分D1和
D2,相应地曲顶柱体也被分成两个柱体,
这两个
柱体体积之和等于原柱体的体积吗?应不应该有
什么限制条件?
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