高等院校非数学类本科数学课程
——一元微积分学
大学数学(一)
第十七讲高阶导数
脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
第四章一元函数的导数与微分
本章学习要求:
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可
导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则,能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程
求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微
分。
了解 n 阶导数的概念,会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰
勒中值定理,并能较好运用上述定理解决有关问题(函数方
程求解、不等式的证明等)。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第三节高阶导数
第四章一元函数的导数与微分
一. 高阶导数的概念
高阶导数的运算法则
隐函数及参数方程
确定的函数的高阶导数
一. 高阶导数的概念
例
推而广之:
按照一阶导数的极限形式, 有
和
一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连
续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数
f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的(此时低于 n 阶的导
数均连续), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导,
记为
如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存
在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为
…………………………
解
例1
注意, 当 k = n 时
综上所述:
解
例2
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