成人高考高数复习资料.doc

函数、极限与连续
§1、1 函数
主要内容
㈠ 函数得概念
1、 函数得定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f)、
2、分段函数:
3、隐函数: F(x,y)= 0
4、反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
y=f-1 (x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
就是严格单调增加(或减少)得;
则它必定存在反函数:
y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X
且也就是严格单调增加(或减少)得。
㈡ 函数得几何特性
1、函数得单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D
当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),
则称f(x)在D内单调增加( );
若f(x1)≥f(x2),
则称f(x)在D内单调减少( );
若f(x1)＜f(x2),
则称f(x)在D内严格单调增加( );
若f(x1)＞f(x2),
则称f(x)在D内严格单调减少( )。
2、函数得奇偶性:D(f)关于原点对称
偶函数:f(-x)=f(x)
奇函数:f(-x)=-f(x)
3、函数得周期性:
周期函数:f(x+T)=f(x), x∈(-∞,+∞)
周期:T——最小得正数
4、函数得有界性: |f(x)|≤M , x∈(a,b)
㈢ 基本初等函数
1、常数函数: y=c , (c为常数)
2、幂函数: y=xn , (n为实数)
3、指数函数: y=ax , (a＞0、a≠1)
4、对数函数: y=loga x ,(a＞0、a≠1)
5、三角函数: y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x
y=sec x , y=csc x
6、反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x
y=arctan x, y=arccot x
㈣ 复合函数与初等函数
1、复合函数: y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x∈X
2、初等函数:
由基本初等函数经过有限次得四则运算(加、减、乘、除)与复合所构成得,并且能用一个数学式子表示得函数
§1、2 极 限
主要内容
㈠极限得概念
数列得极限:
称数列以常数A为极限;
或称数列收敛于A、
定理: 若得极限存在必定有界、
2、函数得极限:
⑴当时,得极限:

⑵当时,得极限:

左极限:
右极限:
⑶函数极限存得充要条件:
定理:
㈡无穷大量与无穷小量
无穷大量:
称在该变化过程中为无穷大量。
X再某个变化过程就是指:

无穷小量:
称在该变化过程中为无穷小量。
无穷大量与无穷小量得关系:
定理:
无穷小量得比较:
⑴若,则称β就是比α较高阶得无穷小量;
⑵若 (c为常数),则称β与α同阶得无穷小量;
⑶若,则称β与α就是等价得无穷小量,记作:β～α;
⑷若,则称β就是比α较低阶得无穷小量。
定理:若:
则:
㈢两面夹定理
数列极限存在得判定准则:
设: (n=1、2、3…)
且:
则:
函数极限存在得判定准则:
设:对于点x0得某个邻域内得一切点
(点x0除外)有:
且:
则:
㈣极限得运算规则
若:
则:①
②
③
推论:①

②
③
㈤两个重要极限
1. 或
2.
§1、3 连续
主要内容
㈠ 函数得连续性
函数在处连续:在得邻域内有定义,
1o
2o
左连续:
右连续:
函数在处连续得必要条件:
定理:在处连续在处极限存在
函数在处连续得充要条件:
定理:
函数在上连续:
在上每一点都连续。
在端点与连续就是指:
左端点右连续;
右端点左连续。

a+ 0 b- x
函数得间断点:
若在处不连续,则为得间断点。
间断点有三种情况:
1o在处无定义;
2o不存在;
3o在处有定义,且存在,
但。
两类间断点得判断:
1o第一类间断点:
特点:与都存在。
可去间断点:存在,但
,或在处无定义。
2o第二类间断点:
特点:与至少有一个为∞,