函数对称性梳理函数的对称性.docx

函数对称性梳理函数的对称性

　　函数的对称性是函数的一个主要性质，对称关系广泛存在于数学问题之中，利用对称性能更简捷地处理问题。函数的对称包含函数本身的对称性和不一样函数之间的对称性。下面详细分析各个方面：
　　一、函数本身的对称
　　=f(x)的图像有关点A(a,b)对称的充要条件是：f(x)+f(2a－x)=2b
　　推论：函数y=f(x)的图像有关原点的对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0
　　=f(x)的图像有关直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)
　　推论：函数y=f(x)的图像有关y轴对称实际是偶函数的充要条件是f(x)=f(－x)
　　定理3.①若函数y=f(x)图像同时有关点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称a≠b，则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。
　　②若函数y=f(x)图像同时有关直线x=a和直线x=b成轴对称a≠b，则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。
　　③若函数y=f(x)图像既有关点A(a,c)成中心对称又有关直线x=b成轴对称a≠b，则y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。
　　二、不一样函数对称性
　　=f(x)和y=2b－f(2a－x)的图像有关点A(a,b)成中心对称。
　　定理5.①函数y=f(x)和y=f(2a－x)的图像有关直线x=a成轴对称。
　　②函数y=f(x)和a－x=f(a－y)的图像有关直线x+y=a成轴对称。
　　③函数y=f(x)和x－a=f(y+a)的图像有关直线x－y=a成轴对称。
　　推论：函数y=f(x)的图像和x=f(y)的图像有关直线x=y成轴对称实际是函数和反函数的问题。
　　三、函数对称性应用举例
　　例1定义在R上的很数函数满足：f(x+10)为偶函数，且f(5-x)=f(5+x)，则f(x)一定是
　　，也是周期函数
　　，但不是周期函数
　　，也是周期函数
　　，但不是周期函数例
　　解：因为f(x+10)为偶函数，因此f(10+x)=f(10-x)。因此f(x)有两条对称轴x=5和x=10，所以f(x)是以10为其一个周期的周期函数，因此x＝0即y轴也是f(x)的对称轴，所以f(x)还是一个偶函数。故选A。
　　2：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)全部有反函数，而且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像有关直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=。
　　A1999；B2021；C2021；D2021。
　　解：∵y=f(x－1)和y=g-1(x－2)函数的图像有关直线y=x对称。
　　∴y=g-1(x－2)反函数是y=f(x－1)，而y=g-1(x－2)的反函数是:y=2+g(x),∴f(x－1)=2+g(x),∴有f(5－1)=2+g(5)=2021