第三章 正规子群和群的同态与同构.pdf

第三章正规子群和群的同态与同构
§1群同态与同构的简单性质
(Basic Properties of Homomorphism and Isomorphism of the groups)
™ 一定义ϕϕϕϕ
定义1 设()GG ,
和( , ) 是两个群,如果存在映射ϕ:GG→满足
ϕϕ
()()()(,ab
=∀∈ a b abG(即) 保运算)
ϕ
则称是同态映射,当是满射时,称GG 与同态,记为 GG∼
当是双射时,称GG 与同构,记为 GG≅,也称 GG 为的同构像。
ϕ
GG= 时,同态,同构映射分别称称为自同态和自同构映射
™ 二群的同态映射的象
™ 1 群在满同态映射下的映象
定理 1 满同态映射把群映射为群,即G 如果是一个群,
GG是一个带有一种代数运算的代数体系,且∼ G ,则G 也是
一个群。
推论设ϕ:(GG→为一个同态映射,e 是群 G,
) 的单位元,则
()1()eeG= 为的单位元,
ϕ
()2,()()∀∈aGϕϕ a−−11 = a
™ 讨论
(1) 定理1中条件满足时,结论成立.
例,1,{0123}(GZG==,, , abrab
=+除以 4) 的余数,
则(ϕ ara )=→( 除以4 的余数)是GG 同态映射,所以
()G,
是群。
™ (2)定理1中条件部分满足时,结论不成立
例2( 定理中的满射不可以去掉:GQ=×+ ,) 为一个群;
GZ== (2+ ,
), ab 2是一个半群,则ϕ(x ) = 2 是
一个 GG→(非满射)同态映射,但(,)G
是群,
(G ,
)不是群。
()31定理的逆命题: (G,o)(G,o) 和均为代数系统,
GG∼,则(G,o) 为群时, (G,o) 未必为群。
例3{21|},{}GnnZG=+∈=−关于数的乘法分别做半
⎧1 a为正奇数
群和群,且映射ϕϕ:()GG→= , a⎨
⎩−1 a为负奇数
是一个满同态映射,所以GG∼。

定理1 的逆命题不成立。
™ 注:
定理1变形:设ϕ是代数体系(,)GG
到代数体系(,) 的同态映
射(不一定满射),设GG==() {() aaGG ∀∈}是在下
的像的集合,那么就是(,)(,)GG
ϕϕ到的同态满射。ϕ
ϕ
(4) (,)(,)GG
和均为代数系统,GGG≅,则(,)
为群时,
(,)G
也为群。
(5)
结论1: :设ϕϕGG→是群同构映射,那么的逆映射
ϕ−1
:GG→也是群同构映射。
结论2:设:,:GG→→ GG都是群同构映射,
11ϕϕ 222 3
那么:GG→也是群同构映射。
21ϕϕ 1 3
结论3:在群之间的同构“≅≅”做关系时,“”必是
一个等价关系。
例4 设两个群(,)ZZ+ 和(,)
,其中:
n
Z =−−−{}
,3,2,1,0,1,2,3, ,ZnZ ={} 10 ∈
= {}
,10−−−3210123 ,10 ,10 ,10 ,10 ,10 ,10 , ,
ϕ
ZZ≅。
注:两个群(,),(,)ZZ+
没有实质性差异,其中一个是另
一个以不同符号和名称实现出来的结果。