第十七章 多元函数微分学.doc

第十七章多元函数微分学
教学目的:,特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系;。
教学重点难点:本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用;难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。
教学时数:18学时
§ 1 可微性
一.       可微性与全微分:
1.      可微性: 由一元函数引入. 亦可写为,
时.
2.      全微分:
例1 考查函数在点处的可微性. P107例1
二.                偏导数:
1.          偏导数的定义、记法:
2.          偏导数的几何意义: P109 图案17—1.
3.          求偏导数:
例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 .
例5          . 求偏导数.
例6          . 求偏导数.
例7          . 求偏导数, 并求.
例8          . 求和.
解= ,
= .
例9         
证明函数在点连续, 并求和.
证
. 在点连续.
,
不存在.
三.                可微条件:
1.          必要条件:
Th 1 ,
和存在, 且
. ( 证)
由于, 微分记为
. 
定理1给出了计算可微函数全微分的方法.
两个偏导数存在是可微的必要条件, 但不充分. 
例10        考查函数

在原点的可微性. [1]P110 例5 . 
2.          充分条件:
Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在点处连续. 则函数在点可微. ( 证) P111
Th 3 若在点处连续, 点存在, 则函数在点可微.
证

.
即在点可微.
要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件. 
例11       
验证函数在点可微, 但和在点处不连续. (简证,留为作业)
证
因此, 即,
在点可微, . 但时, 有
,
沿方向不存在, 沿方向极限
不存在; 又时, ,因此, 不存在, 在点处不连续. 由关于和对称,也在点处不连续.
四.                中值定理:
Th 4 设函数在点的某邻域内存在偏导数. 若属于该邻域, 则存在和, , 使得
. ( 证)
例12        设在区域D内. 证明在D内.
五.                连续、偏导数存在及可微之间的关系:
六.                可微性的几何意义与应用:
1.          可微性的几何意义: 切平面的定义. P113.
Th 5 曲面在点存在不平行于轴的切平面的充要条件是函数在点可微. ( 证略)
2. 切平面的求法: 设函数在点可微,则曲面在点处的切平面方程为( 其中)
,
法线方向数为,
法线方程为.
例13        试求抛物面在点处的切平面方程和法
线方程. P115例6 
3. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理. 
例14 求的近似值. P115例7
例15 应用公式计算某三角形面积. 现测得,. 若测量的误差为的误差为. 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. P116.
§ 2 复合函数微分法
简介二元复合函数: .
以下列三种情况介绍复合线路图
;
, ;
.
一.       链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例. 
Th 设函数在点 D可微, 函数在点可微, 则复合函数在点可微, 且
,
. ( 证) P118 
称这一公式为链导公式. 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加,沿线乘”或“并联加,串联乘”)来概括.
对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况,用“并联加,串联乘”的原则可写出相应的链导公式.
链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数. 但对外函数的可微性假设不能减弱.
对外元, 内元, 有
, .
外元内一元的复合函数为一元函数. 特称该复合函数的导数为全导数.
例1        . 求和. P120例1
例2        , . 求和.
例3        , 求和.
例4       设函数可微..求、和. 
例5        用链导公式计算下列一元函数的导数:
ⅰ> ; ⅱ> . P121例