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矩阵论教程A
哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院
矩阵论教学团队矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
课程要求课程要求
作业要求
书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取
使用教材
《矩阵论教程》国防工业出版社 2012
其他辅导类参考书(自选)
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第四章矩阵分解

1 矩阵的三角分解和正交三角分解
2 矩阵的满秩分解
3 单纯矩阵的谱分解
4 矩阵的奇异值分解
5 矩阵的极分解授课预计
(6学时)
§ 矩阵的满秩分解
我们知道进行矩阵分解往往是为了提高计算

效率,下面我们将给出另一种矩阵的分解。
定义设 mn,若存在 mr rn
1 AC r BCrr, CC

使得: ABC,则称 ABC为矩阵 A

的满秩分解
mn
定理 1 对任何的非零矩阵 AC r ,都存在满秩分解。
证明:假设矩阵 A 的前 r 个列向量是线性无关的,Ir D

对矩阵 A 只实施行初等变换可以将其化成 00
mm ID
PC r
即存在 m 使得 PA 
00
于是有
1 Ir
A PIDBCr
0
其中1 Ir mr rn
BP Crrr, C I D C
0
如果 A 的前 r 列线性相关,那么只需对 A作列
变换使得前 r 个列是线性无关的。然后重复上面的
mmnn
过程即可。这样存在 PCmn, QC
I D
且满足 r 
PAQ 
 00
从而:
1  r DI  11 Ir 1
 PA  PQ r  BCQDI
 OO O 
1 Ir rm 1 nr
其中 PB  r , r  r
O 
例 1. 分别求下面三个矩阵的满秩分解
12101 2
12213 300123
(1) (2) 
24314 500246

4862810
010 1 1

(3) 0 2 0 1 1
030 2 2
12101 2
解:(1)对此矩阵只实施行变换可以得到
12213 3
(1) 
24314 5

12101 2 4862810

12213 3
24314 5
由此可知
4862810
Rank() A  2
120 1 11
且该矩阵第一
001 1 2 1
列,第三列是线
000000

性无关的。选取
000000
12101 2 120 1 11
12213 3 001 1 2 1

24314 5 000 0 0 0

4862810 000 0 0 0
11
12
BC42
23 2

46
120 1 11 26
, CC2
001 1 2 1
同样,我们也可以选取12101 2 121012
12213 3 001121

24314 5 000000

4862810 000000
10
11
BC42
21 2

42
121012 26
, CC2
001121