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第三章极限与函数的连续性
§2 数列的极限
1. 用定义证明下列数列的极限为零:
√√
(5) lim ( n + 1 − n);
n→∞
证明首先,
√√(n + 1) − n
| n + 1 − n| = √√
n + 1 + n
1
≤√
n
1
所以∀ε> 0, 取N = [ ε2 ], 则当n > N时,有
√√ 1
| n + 1 − n| ≤√≤ε
n
由极限定义,这表示
√√
lim ( n + 1 − n) = 0
n→∞
n
(6) lim 10 ;
n→∞ n!
提示:
10n 10 10 10 10
= · · · · 0 · · ·
n! 1 2 1 n
109 10
≤·
9! n
:

 3, n = 3k

3n+1
(4) lim xn = 3,其中xn = , n = 3k + 1(k = 1, 2, · · · )
n→∞ n

 1+√ n
2 + 3− n+n , n = 3k + 2.
1
证明当n = 3k, k = 1, 2, · · · 时,
|xn − 3| = 0
当n = 3k + 1, k = 1, 2, · · · 时,
3n + 1
|x − 3| = | − 3|
n n
1
≤ n
当n = 3k + 2, k = 1, 2, · · · 时,
1 + n
|x − 3| = |2 + √− 3|
n 3 − n + n
√
−2 + n
≤√
3 − n + n
√
n
≤ n , (当n ≥ 9时)
− 2 + n
√2
≤ n
综上,当n ≥ 9时,
1 2 4
|x − 3| ≤+ √≤√
n n n n
16
故∀ε> 0, 取N = max 9, ε2 , 则当n > N时,有
4
|x − 3| ≤√< ε
n n
所以
lim xn = 3
n→∞
:
(1) lim ( 1 + 1 + · · · + 1 );
n→∞ 1·2 2·3 n(n+1)
1 1 1
提示: n(n+1) = n − n+1 .
2
1 1 1
(2) lim ( 2 + + · · · + );
n→∞ n (n+1)2 (2n)2
提示:
1 1 1
+ + · · · +
n2 (n + 1)2 (2n)2
1 1 1
≤+ + · · · +
n2 n2 n2
1
n
1
(5) lim (1 −√n ) cos n;
n→∞ 2
提示:极限不存在。
(8) lim [(n + 1)α− nα],0 < a < 1;
n→∞
提示:因为0 < a < 1, 所以
1
(n + 1)α− nα= nα[(1 + )α− 1]
n
1
≤ nα[(1 + ) − 1]
n
1
=
n1−α
(9) lim 1 · 3 ·