第12章 动态优化模型.doc

第12章动态优化模型
生产计划的制定
工厂根据合同须在某时刻提交一定数量的产品. 制定生产计划时要考虑生产和贮存两种费用. 生产费用通常取决于生产率(单位时间的产量),生产率越高费用越大; 贮存费用自然由已生产出来的产品数量决定,数量越多费用越大. 问题:寻求最优的生产计划,使完成合同所需的总费用(生产与贮存费用总和)最小.
假设开始生产时刻记为t = 0. 按照合同应在t = T时提交数量为Q的产品. 到时刻t时为止的产量记作x(t),x(t)即为生产计划. 时刻t时的生产率为,故单位时间的生产费用为的函数,记为,而单位时间的贮存费用记为g(x(t)),于是从t = 0到t = T的总费用C(x(t))为(注:C为x的范函而非t的函数)
C(x(t)) = . (1)
为确定f和g的具体形式作如下假设:
1. 单位时间内生产率提高一个单位,所需生产费用与这时的生产率成正比.
2. 贮存费与贮存量成正比.
由假设1有df/dµ,可得
, (2)
k1是比例系数. 由假设2有
g(x(t)) = k2x(t), (3)
k2是单位数量产品单位时间的贮存费.
建模将(2)、(3)代入(1)并注意到x在t = 0, T的值,可得
C(x(t)) = , (4)
x(0) = 0, x(T) = Q. (5)
制定最优生产计划归结为在条件(5)下,求x(t)使(4)式中的泛函C(x(t))取得最小值.
用变分法求解. 记F(t, x,) = k12 + k2x,根据欧拉方程(§, (11), p263)
Fx(t, x,) - = 0.
x(t)的两种形式
可得关于x(t)的二阶微分方程
k2 - 2k1= 0, (6)
此微分方程在端点条件(5)下的解为
x(t) = . (7)
x(t)的图形如图. 当x(t)中一次项的系数小于零时,x(t)在t的初始阶段小于零,如图中的S2,这与实际情况是不符的. 对生产计划x(t),显然必须满足
x(t) ³ 0, 0 £ t £ T, (8)
此条件等价于
条件(11)下的x(t)
, (9)
由(7)式知这又等价于
Q ³ k2T2/(4k1). (10)
但是, 当
Q < k2T2/(4k1). (11)
时最优生产计划如何确定呢? 采用上图中曲线S2的形式显然是不合理的, 因为x(t)不能小于零. 应延迟开工, 即到t = t1时才开始生产, 这时生产时间为T - t1, 应满足Q ³ k2(T-t1)2/(4k1). 计算出的C与t1有关, 可再进行优化. 此即右图中时刻t1和曲线S3如何确定的问题.
解释考察(6)式, 它可表示为
, (12)
其中df/d是单位时间内生产率提高一个单位所需要的生产费用, 经济理论中称为边际成本. 而k2(单位时间单位数量产品的贮存费)称边际贮存. (12)式表明, 使边际成本的变化率等于边际贮存的生产计划是最优的.
渔船出海
这一节继续讨论开发渔业资源的最大经济效益模型,,这里用出海渔船的数量作为控制函数. 实际上,捕鱼业的具体作法是等渔场中鱼量增长到相当大以后,