第五章 一元函数积分学.ppt

第五章一元函数积分学
(一) 本章内容小结
(二) 常见问题分类及解法
(三) 思考题
(四) 课堂练习
(一) 本章内容小结
一、主要内容
1、原函数和不定积分的概念;基本积分公式,基本积分法则,
换元法,分部积分法.
2、定积分的定义;微积分基本定理;牛顿-莱布尼兹公式及其
应用.
二、重点和难点
本章重点是不定积分的计算和利用牛顿-莱布尼兹公式计算
定积分. 难点是不定积分的计算和定积分的定义.
四、对学习的建议
1、不定积分的计算掌握得熟练与否不仅影响着定积分的计
算和应用,而且将影响到今后学习多元函数积分的计算以及微
分方程的求解等,因此务必给予重视.
不定积分的计算中凑微分法的使用是个难点,它的基本思
路是通过恒等变化积分表达式中的微分形式,使积分表达式在
形式上符合基本积分公式,从而解决积分问题. 要熟练掌握凑
微分法,一是要熟记基本积分公式,二是熟悉常用的微分公式,
三是多做多看,积累经验,熟悉技巧.
分部积分法主要是针对被积函数为乘积形式的积分,其方
法是将所给积分化为形如, 然后利用公式
总之,不定积分的解法很灵活,求解途径不止一种,以下
所说都是一些基本情况和常规思路,而实际上面对的情况是千
变万化的,有时解法需要技巧性很强,例如,即使被积函数中
无根式,也可考虑使用第二换元法等. 这就要求多看多练,多
总结归纳.
2、对于定积分的定义应通过引入例题深刻理解,它的精要
之处是“分割求近似,求和取极限”,这种数学思想在利用定
积分解决实际问题中尤为重要.
五、本章关键词
不定积分
积分法
定积分
公式
定理
(二) 常见问题分类及解法
一、直接积分法求不定积分
解
许多不定积分先要对被积函数适当变形,根据不定积分
的性质,结合代数和三角公式的恒等变形,直接利用基本积
分公式求不定积分.
二、利用第一换元积分法(凑微分法) 求不定积分
在不定积分的计算中,凑微分法就是根据被积函数,利用
微分形式不变性,“凑”成一个在基本积分公式中的函数,求
出不定积分. 凑微分法比较灵活,应该通过较多的训练,将凑
微分法掌握好. 可以看到,许多不定积分的计算用凑微分法显
得比较简单. 该方法的一般计算步骤如下: