一、线性方程组有解的判定条件
问题:
(
)
,
根据克拉默定理
个方程只有零解
所对应的
n
D
n
证
必要性.
(
)
,
,
n
D
n
A
n
A
R
阶非零子式
中应有一个
则在
设
=
从而
第四讲线性方程的解
这与原方程组有非零解相矛盾,
(
)
.
n
A
R
<
即
充分性.
(
)
,
n
r
A
R
<
=
设
.
个自由未知量
从而知其有
r
n
-
任取一个自由未知量为1,其余自由未知量为0,
即可得方程组的一个非零解
.
证
必要性.
,
有解
设方程组
b
Ax
=
(
)
(
)
,
B
R
A
R
<
设
则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1,
这与方程组有解相矛盾
.
(
)
(
)
.
B
R
A
R
=
因此
并令个自由未知量全取0,
r
n
-
即可得方程组的一个解.
充分性.
(
)
(
)
,
B
R
A
R
=
设
(
)
(
)
(
)
,
n
r
r
B
R
A
R
£
=
=
设
证毕
其余个作为自由未知量,
把这行的第一个非零元所对应的未知量作为
非自由未知量,
小结
有唯一解
b
Ax
=
(
)
(
)
n
B
R
A
R
=
=
Û
(
)
(
)
n
B
R
A
R
<
=
Û
有无穷多解.
b
Ax
=
齐次线性方程组:系数矩阵化成行最简形矩阵,便可写出其通解;
非齐次线性方程组:增广矩阵化成行阶梯形矩阵,,化成行最简形矩阵,便可写出其通解;
例1 求解齐次线性方程组
解
二、线性方程组的解法
即得与原方程组同解的方程组
由此即得
例2 求解非齐次线性方程组
解
对增广矩阵B进行初等变换,
故方程组无解.
例3 求解非齐次方程组的通解
解对增广矩阵B进行初等变换
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