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知识点总结高等代数新编
第二章行列式知识点总结
一行列式定义
1、n级行列式（1）等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积（2）的代数和，这里是一个n级排列。当是偶排列时，该项前面带正号；当是奇排列时，该项前面带负号，即：
。
2、等价定义
和
3、由n级排列的性质可知，n级行列式共有项，其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各占一半。
4、常见的行列式
1）上三角、下三角、对角行列式
2）副对角方向的行列式
3）范德蒙行列式：
二、行列式性质
1、行列式与它的转置行列式相等。
2、互换行列式的两行（列），行列式变号。
3、行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数，等于用这个数乘以此行列式。即：某一行（列）中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面。
4、若行列式中有两行成比例，则此行列式等于零。
5、若某一行（列）是两组数之和，则这个行列式等于两个行列式之和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样。
6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变。
三、行列式的按行（列）展开
1、子式
1）余子式：在n级行列式中，去掉元素所在的第i行和第j列后，余下的n-1级行列式称为的余子式，记作。
2）代数余子式：称为的代数余子式。
3）级子式：在n级行列式中，任意选定行和列，位于这些行列交叉处的个元素，按原来顺序构成一个级行列式M，称为D的一个级子式。当时，在D中划去这行和列后余下的元素按照原来的次序组成的级行列式称为级子式M的余子式。
2、按一行（列）展开
1）行列式任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，即
按第i行展开
按第j列展开
2）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等零，即
或
3、按行（列）展开
拉普拉斯定理：在n级行列式中，任意取定个行（列），由这行（列）元素组成的所有的级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。
4、其他性质
1）设为n阶方阵，则；
2）设为n阶方阵，则；
3）设为n阶方阵，则，但；
4）设为阶方阵，设为n阶方阵，则，但。
5）行列式的乘法定理：两个n级行列式乘积等于n级行列式
四、行列式的计算
1、计算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等。具体计算时需要根据等到式中行（或列）元素的特点来选择相应的解题方法。
方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法。用直接递推法的关键是找出一个关于的代数式来表示，依次从，逐级递推便可以求出的值。
方法二：数学归纳法。第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性。第二步的关键是首先要得到关于和的递推关系式。
方法三：加边法。加边法是将所要计算的n级行列式适当地添加一行一列（或m行m列）得到一个新的n+1（或m+1）级行列式，保持行列式的值不变，但是所得到的n+1（或m+1）级行列式较易计算。其一般做法如下：
或
特殊情况取或。
方法四：拆行（列）法。将所给的行列式拆成两上或若干个行