复数知识点归纳定稿版.docx

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复数知识点归纳精编WORD版
复 数
【知识梳理】
一、复数的基本概念
1、虚数单位的性质
叫做虚数单位，并规定：①可与实数进行四则运算；②；这样方程就有解了，解为或
2、复数的概念
（1）定义：形如(a，b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，a叫做 ，b叫做 。全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示，即(a，b∈R)
对于复数的定义要注意以下几点：
①(a，b∈R)被称为复数的代数形式，其中表示与虚数单位相乘
②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式
（2）分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数b＝0
a＋bi为虚数b≠0
a＋bi为纯虚数a＝0且b≠0
例题：当实数为何值时，复数是实数虚数纯虚数
二、复数相等
也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等
注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小
例题：已知求的值
三、共轭复数
与共轭
的共轭复数记作，且
四、复数的几何意义
1、复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2、复数的几何意义
复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）
相等的向量表示同一个复数
例题：（1）当实数为何值时，复平面内表示复数的点
①位于第三象限；②位于直线上
（2）复平面内，已知，求对应的复数
3、复数的模：
向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离，即，
若，，则表示到的距离，即
例题：已知，求的值
五、复数的运算
（1）运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
①
②
③
（2）几何意义：，即＝＋，＝－.
六、常用结论
（1），，，
求，只需将除以4看余数是几就是的几次
例题：
，
，
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解.(　 　)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　 　)
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　 　)
(4)原点是实轴与虚轴的交点.(　 　)
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　 　)
【考点自测】
1.(2015·安徽)设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于(　　)
＋3i B.－1＋3i ＋i D.－1＋i
2.(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于(　　)
A.－2－i B.－2＋i －i ＋i
，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，，则点C对应的复数是(　　)
＋8i ＋2i ＋4i ＋i
，b∈R，＋i＝2－bi，则(a＋bi)2等于(　　)
－4i ＋4i －3i ＋3i
(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.
【题型分析】
题型一　复数的概念
例1　(1)＝a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)
A.－3 B.－1
(2)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为(　　)
C.
(3)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的(　　)


引申探究
(1)中的复数z，若|z|＝，求a的值.
(2)中，若为实数，则a＝________.
思维升华　解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点