第十节 闭区间上连续函数的性质
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第十节 闭区间上连续函数的性质
一、最值定理
二、有界性定理
三、介值定理
四、内容小结
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一、最值定理
定理1 在闭区间上连续的函数
即: 设
则
使
值和最小值.
在该区间上一定有最大
(证明略)
y
x
0
a
b
ξ1
ξ2
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例如,
无最大值和最小值
也无最大值和最小值
又如,
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定理2
由定理 1 可知有
证: 设
上有界 .
在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
二、有界性定理
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三、介值定理
定理3 ( 零点定理 )
至少有一点
且
使
( 证明略 )
定理4( 介值定理 )
设
且
则对 A 与 B 之间的任一数 C ,
一点
使
至少有
证明
推论:
在闭区间上的连续函数
必取得介于最小值与最大值之间
的任何值 .
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x
y
0
a
b
证：
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上连续 , 且恒为正 ,
例2 设
在
对任意的
必存在一点
证:
使
令
, 则
使
故由零点定理知 , 存在
即
当
时,
取
或
, 则有
证明:
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四、内容小结
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在
上达到最大值与最小值;
上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当
时,
使
必存在
上有界;
在
在
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思考与练习
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1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图),
证明必可将它
一刀剪为面积相等的两片.
提示:
建立坐标系如图.
则面积函数
因
故由介值定理可知:
证明至少存在
使
2. 设
一点
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南京工业大学《高等数学》ch(33) 来自淘豆网m.daumloan.com转载请标明出处.
