2021年高中数学平面向量知识点总结及常见题型.docx

平面向量

1向量概念：
①向量：既有大小又有方向量向量普通用……来表达，或用有向线段起点与终点大写字母表达，如：几何表达法 ，；坐标表达法 向量大小即向量模（长度），记作||即向量大小，记作｜｜
向量不能比较大小，但向量模可以比较大小．
②零向量：长度为0向量，记为，其方向是任意，与任意向量平行零向量＝
｜｜＝0 由于方向是任意，且规定平行于任何向量，故在关于向量平行（共线）问题中务必看清晰与否有“非零向量”这个条件．（注意与0区别）
③单位向量：模为1个单位长度向量
向量为单位向量｜｜＝1
④平行向量（共线向量）：方向相似或相反非零向量任意一组平行向量都可以移到同始终线上方向相似或相反向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同始终线上，故平行向量也称为共线向量
⑤相等向量：长度相等且方向相似向量相等向量通过平移后总可以重叠，记为大小相等，方向相似
2向量加法
求两个向量和运算叫做向量加法
设，则+==
（1）；（2）向量加法满足互换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点，和向量是始点与已知向量始点重叠那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
（2） 三角形法则特点是“首尾相接”，由第一种向量起点指向最后一种向量终点有向线段就表达这些向量和；差向量是从减向量终点指向被减向量终点
当两个向量起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法三角形法则可推广至各种向量相加：
，但这时必要“首尾相连”．
3向量减法
① 相反向量：与长度相等、方向相反向量，叫做相反向量
记作,零向量相反向量仍是零向量
关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；
(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=
②向量减法：向量加上相反向量叫做与差，
记作：求两个向量差运算，叫做向量减法
③作图法：可以表达为从终点指向终点向量（、有共同起点）
4实数与向量积：
①实数λ与向量积是一种向量，记作λ，它长度与方向规定如下：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）当时，λ方向与方向相似；当时，λ方向与方向相反；当时，，方向是任意
②数乘向量满足互换律、结合律与分派律
5两个向量共线定理：
向量与非零向量共线有且只有一种实数，使得=
6平面向量基本定理：
如果是一种平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任从来量，有且只有一对实数使：，其中不共线向量叫做表达这一平面内所有向量一组基底
7 特别注意:
（1）向量加法与减法是互逆运算
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等必要条件
（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不涉及共线（即重叠），而向量平行则涉及共线（重叠）状况
（4）向量坐标与表达该向量有向线条始点、终点详细位置无关，只与其相对位置关于

1平面向量坐标表达：
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相似两个单位向量作为基底由平面向量基本定理知，该平面内任从来量可表达到，由于与数对(x,y)是一一相应，因而把(x,y)叫做向量坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上坐标，y叫做在y轴上坐标
(1)相等向量坐标相似，坐标相似向量是相等向量
(2)向量坐标与表达该向量有向线段始点、终点详细位置无关，只与其相对位置关于
2平面向量坐标运算：
若，则
若，则
若=(x,y)，则=(x，y)
若，则
若，则
若，则
3向量运算向量加减法，数与向量乘积，向量数量（内积）及其各运算坐标表达和性质
运算类型
几何办法
坐标办法
运算性质
向
量
加
法
1平行四边形法则
2三角形法则
向
量
减
法
三角形法则
向
量
乘
法
是一种向量,
满足:
>0时,与同向;
<0时,与异向;
∥
=0时，=
向
量
数
量
积
是一种数
或时,
=0
且时,
,
三．平面向量数量积
1两个向量数量积：
已知两个非零向量与，它们夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与数量积（或内积） 规定
2向量投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上投影投影绝对值称为射影
3数量积几何意义：·等于长度与在方向上投影乘积
4向量模与平方关系：
5乘法公式成立：
；
6平面向量数量积运算律：
①互换律成立：
②对实数结合律成立：
③分派律成立：
特别注意：（1